解：

设三角形的边长分别为a, b, c，周长为p，面积为A。内切圆直径d=4A/p。

以a, b, c为底的高分别为ha, hb, hc 。

以a为底边，切去的三角形的高与原三角形的高的比是(ha-d)/ha=1-da/(2A)

六边形的周长是：

p+(a-b-c)(1-da/(2A))+(b-a-c)(1-db/(2A))+ (c-a-b)(1-dc(2A))=

[4(ab+bc+ac)-2(a^2+b^+c^2)]/(a+b+c)

六边形的周长与三角形的周长之比:

[4(ab+bc+ac)-2(a^2+b^+c^2)]/(a+b+c)^2

为了

[4(ab+bc+ac)-2(a^2+b^+c^2)]/(a+b+c)^2 <= 2/3         (1)

只要

3[2(ab+bc+ac)-(a^2+b^+c^2)]<=(a+b+c)^2                  (2)

为了(2), 只要

(ab+bc+ac) <= a^2+b^+c^2                     (3)

(3) 可以由(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2>=0证得，所以

(1)成立。a=b=c时等号成立。