解：a=m^2-n^2, b=2mn, c=m^2+n^2 产生所有勾股三元数，其中，m，n是不相等的正整数。为了a,b,c没有公约数，m/n是即约分式，m,n不能都是奇数。

令m=4k+r, n=4i+s 

(4k+r)^2+(4i+s)^2 = 16k^2+16i^2+8kr +8is +r^2+s^2   (1)

讨论

r=0,1,2,3

s=0,1,2,3

m/n是即约分式，r,s不能同时为偶数。m,n不能都是奇数，r,s不能同时为奇数。

(r,s)的组合只能是(0,1),(0,3),(1,2),(2,3)。不考虑顺序。

(r^2,s^2)的组合只能是(0,1),(0,9),(1,4),(4,9)。不考虑顺序。

把这些组合代入（1），得到c必为4k+1形式的数。

令c= (4k+r)(4i+s)= 16ki+4ks+4ri +rs 

为了c为4k+1形式的数, r=1,s=1