解：a=m^2-n^2, b=2mn, c=m^2+n^2 產生所有勾股三元數，其中，m，n是不相等的正整數。為了a,b,c沒有公約數，m/n是即約分式，m,n不能都是奇數。

令m=4k+r, n=4i+s 

(4k+r)^2+(4i+s)^2 = 16k^2+16i^2+8kr +8is +r^2+s^2   (1)

討論

r=0,1,2,3

s=0,1,2,3

m/n是即約分式，r,s不能同時為偶數。m,n不能都是奇數，r,s不能同時為奇數。

(r,s)的組合只能是(0,1),(0,3),(1,2),(2,3)。不考慮順序。

(r^2,s^2)的組合只能是(0,1),(0,9),(1,4),(4,9)。不考慮順序。

把這些組合代入（1），得到c必為4k+1形式的數。

令c= (4k+r)(4i+s)= 16ki+4ks+4ri +rs 

為了c為4k+1形式的數, r=1,s=1