y= 97x^2 + 89                   (0)

y= 9^2x^2 + 4^2x^2 + 8^2 + 5^2        (1)

试图将(1)配方，写成

y= 9^2(x+d)^2                           (2)

如果(2)的形式是正确的，比较(1),(2),

4^2x^2 + 89一定能被81整除。

4^2x^2 + 89= 4^2x^2 + 8 + 81

4^2x^2 + 8一定能被81整除。

2x^2 + 1一定能被81整除。有

2x^2 = 81q-1                  (3)

2x^2 = 81q2+80

x^2 = 81q3+40               (4)

(x/9)(x/9)=q3+40/81

令x=9+u枚举u, 当u=2时，满足(4)。

((9n+2)/9)^2=(n+2/9)^2=n^2+4/81+4n/9=n^2+(4+36n)/81=

n^2+(4+36)/81+4(n-1)/9

只有当n-1=9k时，上式的余数是40。这样得到

x=81k+11                     (5)

由((9n-2)/9)^2,可以得到

x=81k-11                      (6)

先试(6)。把(6)代入(1)得

y= 81[81(97)k^2-22(97)k+146]= 81[88^2k^2+113k^2-22(97)k+146]   (7)

试图将(7)的[]配方

[]= 88^2k^2+k(113k-22(97)+m)+146-km

式中m>0

k(113k-22(97)+m)=-2(88k)sqrt(146-km)

(22(97)-113k-m)/(2(88))=sqrt(146-km)>0           (8)

为了满足(8), 至少22(97)-113k>2(88)

得到k<=17

从(0),可以得出x是偶数。如果x是奇数，y一定是偶数，因是完全平方，一定能被4整除。(0)的右端不能被4整除。这就证明了x是偶数。根据(6),k一定是奇数。这样，可以枚举k=17,15,13,11,…使得(8)成立。

枚举k=17,调整m使得(8)的左端=整数，右端不满足。…

k=11, m=1是(8)的解。k<11没有解。这样

x=81(11)-11=880是最小的正整数解。