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万维读者网 > 灵机一动 > 帖子
看到教育学术的题:97x^2 + 89 =完全平方数
送交者: tda 2021年05月29日11:20:53 于 [灵机一动] 发送悄悄话

已知y= 97x^2 + 89

y是个完全平方数,求正整数x的最小值。

试解:

y= 97x^2 + 89

y= 9^2x^2 + 4^2x^2 + 8^2 + 5^2        (1)

试图将(1)配方,写成

y= 9^2(x+d)^2                           (2)

如果(2)的形式是正确的,比较(1),(2),

4^2x^2 + 89一定能被81整除。

4^2x^2 + 89= 4^2x^2 + 8 + 81

4^2x^2 + 8一定能被81整除。

2x^2 + 1一定能被81整除。有

2x^2 = 81q-1                  (3)

2x^2 = 81q2+80

x^2 = 81q2+40               (4)

(x/9)(x/9)=q2+40/81

x=9+k, 枚举k,当k=2时,满足(4)

x=11满足(4)

代入(1), x=11不是解。要找到其他解。

应用一个定理:如果n^2除以m的余数是R,那么(n(m-1))^2, (n(m+1))^2除以m的余数也是R

这样,

x=11(80)^n, 11(82)^n都是(4)的解。

11(80)代入(1)结果是完全平方数,所以880是问题的的一个解。

谁有更解析的解


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  改进版解 - tda 06/10/21 (2058)
    平心说,这个证明不如前一个简洁\清楚.  /无内容 - gugeren 06/10/21 (2032)
      前一个证明880是一个解,这个证明880是最小解  /无内容 - tda 06/10/21 (1993)
        利用前一个证明,应该也能证明880就是最小的解吧?  /无内容 - gugeren 06/11/21 (1992)
          x^2 = 81q3+40是必要条件,由此得出的81k-11 - tda 06/11/21 (2079)
          11和11(80)之间也有满足必要条件的,没有讨论。  /无内容 - tda 06/11/21 (1975)
            本人认为,前面证明中的那个定理: - gugeren 06/11/21 (1967)
    m=11  /无内容 - tda 06/10/21 (1993)
  【2x^2 = 81q2+80】中的q2是什么意思?  /无内容 - gugeren 05/30/21 (2273)
    q2=q-1。拿到81,减1后得80  /无内容 - tda 05/30/21 (2240)
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