證明必要性：

讓n= 2^m-k。

考慮(2^m-k, 2^(m-1)-(k-1))。其中 1<k<2^(m-1)。

其分子是

(2^m-k)(2^m-(k+1))(2^m-(k+2))…(2^m-(2^(m-1)-k))(2^m-(2^(m-1)-k+1))…2^(m-1)

其分母是

(1)(2)…(k-1)(k)(k+1)(k+2)…(2^(m-1)-k)(2^(m-1)-(k-1))

把分子變形得

[2^m-k)(2^m-(k+1))(2^m-(k+2))…(2^m-(2^(m-1)-k))]{2^(m-1)+(k-1)…(2^(m-1)+1)}2^(m-1)

把分母變形得

{(1)(2)…(k-1)}[(k)(k+1)(k+2)…(2^(m-1)-k)](2^(m-1)-(k-1))

分子中的{}與分母中的{}有相同的2因子次數。

分子中的[]與分母中的[]有相同的2因子次數。

這樣（2^m-k, 2^(m-1)-(k-1))的奇偶性由

2^(m-1)/(2^(m-1)-(k-1))

決定。

又因1<k<2^(m-1), (k-1)的2因子的次數低於2^(m-1)的2因子的次數。所以，

（2^m-k, 2^(m-1)-(k-1))是偶數。

k=0時, (n,1)是偶數。這就證明了n不等於2^m-1時，至少有一個二次項係數是偶數。這就證明了必要性。