三次不定方程

x^3+y^3+3xyz = z^3+2018

其中xyz都是正整数。

提示：a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)

解：

根据提示

x^3+y^3+3xyz-z^3=

(x+y-z)(x^2+y^2+z^2-xy+yz+xz)=2018=2(1009)       (1)

因此，(x+y-z)可能的值是1，2，1009。经验证，只有

(x+y-z)=2                   (2)

可能有解，其它都无解。由(2)

z=(x+y-2),代入(1)得

x^2+y^2+z^2+xy-2y-2x=335=5(67)                     (3)

变形(3)得

(x-2)(x+y)=5(67)-y^2=5(67-y^2/5)

现在试解：看看，

(x-2)=5, (x+y)=(67-y^2/5)能否有解：

x=7，

(7+y)=(67-y^2/5) <=>y^5+5y-20(15)=0

得到y=15。考虑(2),

(x,y,z)=(7,15,20)是一个解。根据x,y对称性，

(15,7,20)也是一个解。