解：

把矩阵写成

a11,       a12,        a13,

a21,       a22,       a23,

a31,       a32,       a33

根据题意，解法应该是关于a11, a33连线对称。

1只可能在a11的位置。因为1在任何其它位置都要求a11位置上有比1更小的数。但这是不可能的。同理, 9只能在a33的位置。

2只能选择a12或a21。因为2在任何其它位置都要求a12或a21位置上有比2更小的数,又不是1。但这是不可能的。

假设2选择a12，我们有

 1         2

                                   [1]                 

                      9

用[1]代表矩阵[1]条件下解的个数。如果2选择a21，根据对称性，在此条件下，解的个数=[1]。这样问题的解是

2[1]              (1)

现在讨论在[1]的条件下，填写3:

按题意，3只能选择左边，上边没有空位的地方，得到

1         2         3

                                    [2]

                      9

1         2         

3                                  [3]

                      9

这样，得到

[1]=[2]+[3]           (2)

在[2]的条件下，填写4，得到

1         2         3

4                                 [4]

                      9

在[3]的条件下，填写4，得到

1         2         4

3                                [5]

                      9

1         2         

3        4                     [6]

                      9

1         2         

3                                  [7]

4                   9

因对称性，

[4]=[5]=[7]。代入(2)得

[1]=3[4]+[6]           (3)

在[4]的条件下，填写5, 得到

1         2         3

4         5                       [8]

                      9

1         2         3

4                                 [9]

5                    9

在[6]的条件下，填写5，得到

1         2         5

3        4                     [10]

                      9

1         2         

3        4                     [11]

5                    9

因对称性，

[8]=[10]=[11]。代入(3)得

[1]=5[8]+3[9]           (4)

[8]=3, [9]=2。代入(4)得

[1]=21。代入(1)得

2[1]=42