當一個素數p被5除後的餘數是2時，則F(p+1)能被p整除。

證明：

先假設p是奇數。

F(p+1)=[((1+sqrt(5)/2)^(p+1) - ((1-sqrt(5)/2)^(p+1)]/sqrt(5)

展開後，相減，只剩奇數項：

F(p+1)=[(p+1,1)sqrt(5) +(p+1,3)sqrt(5)^3+...+(p+1, p)sqrt(5)^p]/((sqrt(5)2^p)

F(p+1)=[(p+1,1) +(p+1,3)5+...+(p+1, p)5^((p-1)/2)]/2^p             (1)

[ ]中除了第一項和最後一項，都能被p整除。現在討論第一項和最後一項的和：

(p+1)(1+5^((p-1)/2))能否被p整除。也就是討論

1+5^((p-1)/2))能否被p整除。由二次互反律，

5^((p-1)/2) (mod p) = p^2 (mod 5) = 2^2 (mod 5)=-1          (2)

這樣，1+5^((p-1)/2))能被p整除。

這樣(1)中的[ ]=pq。又因p中沒有2因子，2^p一定整除q。從而F(p+1)被p整除。

如果p被5除後的餘數是3時，(2)中的2^2 (mod 5)=-1 變成

3^2 (mod 5)=-1 

也就是說，如果p被5除後的餘數是3時，F(p+1)也被p整除。