有一對剛生的小兔子，兩個月後每月生一對小兔子。所生的小兔子也是兩個月後開始每月生一對小兔子。問N個月後有幾對兔子？

            F(0) = 1, F(1) = 1, F(2) =2, ...

            先推導F(n)的遞推公式

            F(n) = F(n-1) + F(n-2) , n > 1

我們把F(n-2)分為兩部分a和b，a為當月出生的，其他為b。a要到第n月才能生育，b下月都可生育。

            F(n-2) = a + b, F(n-1) =a + 2b, F(n) = 2a + 3b

我們有F(n) = F(n-1) + F(n-2) , n > 1。

            f(x) F(n)xⁿ

          = 1 + x +  {F(n-1))xⁿ + F(n-2))xⁿ }

          = 1 + x + x{f(x) - 1} + x²f(x)

經整理得

            f(x){1 - x - x²} = 1

          f(x) =1/ {1 - x - x²} = -1 / {(x + x_-)(x + x₊)} = 1 /{(1+ x/x_-)(1+ x/x₊)}

這兒  x₊ = (1 + )/2 , x_-  = (1 - )/2

            f(x) = -( x_-/ )/(1+ x/ x₊) + (x₊)/(1+ x/ x_-)

兩項均展開後xⁿ的係數即F(n)。第一項的係數正負交替，第二項恆正。當n很大時，第一項可忽略不計。