談談實數的定義問題

(一) 有理數的定義

我們把分數定義為有理數。任何一個有理數都可以寫成分數r/m（r，m都是整數，且
m≠0）的形式。這裡，我們把整數看成分數的特例。任何一個有理數都可以在數軸
上表示，代表了數軸上對應點到原點的距離。有限小數是有理數。無限循環小數可以
描述一個有理數，但無限循環小數不是有理數。給定一個無限循環小數，我們可以求
出對應的有理數。

例如，無限循環小數0.3333...。我們把它看成是整數相除，而除不盡的結果。假設
這是r/m的結果。那麼，在計算第一位時，得到商0.3，在下一位得到餘數r。

r/m = 0.3 + r/(10m)
(r/m)(0.9) = 0.3
r/m = 1/3                  (1)

無限循環小數在某位截斷，就得到了它所描述的有理數的不足近似值。在不足近似值
的末位加1就得到它所描述的有理數的盈餘近似值。而所描述的有理數就在不足近似
值與盈餘近似值之間。

還以無限循環小數0.3333...為例。設不足近似值是在小數點n位後截斷，盈餘近似值
是不足近似值的末位加1。這樣，我們就有不等式

-10^(-n)/3 + 1/3 < r/m < 1/3 + 2(10^(-n))/3

考慮n的任意性，對上式做不等式分析，只能得出

r/m = 1/3                  (2)

所以，分數(整數是分數的特例)是有理數，有限小數是有理數，無限循環小數不是有
理數。無限循環小數能描述一個有理數。無限循環小數是一個有理數的近似值序列。
這有理數在不足近似值和盈餘近似值之間。有理數等於數軸上的對應點到原點的距離。

下面我們討論無理數的定義。為了方便只討論正無理數的定義，負無理數的定義是類
似的

(二)無限不循環小數定義無理數

邊長為1的正方形的斜邊長度，根號2，不能寫成分數形式，不是有理數。我們把它稱
作無理數。如果我們用手開方，得到一個無窮小數

1.41421356....

我們把它看成根號2的近似值序列。在小數點後第n位截斷後，我們得到根號2的一個
不足近似值。在不足近似值的末位加1就得到根號2的盈餘近似值。無論n等於多少，
根號2在不足近似值和盈餘近似值之間。根號2是常數，在數軸上有確定的點。根號2
的值等於所對應的點到原點的距離。

公理規定，任何無限不循環小數都描述一個無理數x。x的值在這個不循環小數所產生
的不足近似值和盈餘近似值之間。x是常數，其值等於所對應的點到原點的距離。

這也是實數的小數定義的完備性。

定義減法：設x,y不都是有理數，x-y在(x小數-y小數)的不足近似值和盈餘近似值之
間。


(三) 有理基本列定義無理數

定義1：Xn是有理數列，對任意給定的有理e>0，存在N，使得對任何m>N，n>N，都有
|Xm-Xn|定義2：對任何基本列Xn，Yn，如果任給一個e>0，e也是有理數，存在N，使得對任何
n>N，都有|Xn-Yn|把所有相互等價的基本列歸成一類。把它稱作等價類。

很顯然，有的等價類中有常數數列。能否證明，有的等價類中沒有常數數列呢？還是
以根號2為例。如果我們用手開方，得到根號2的一個不足近似值序列,xn

1.4,1.41,1.414,1.4142...      (3)

及盈餘近似值序列Xn

1.5,1.42,1.415,1.4143...      (4)

這是兩個基本列，且彼此等價。如果包含這兩個基本列的等價類中有常數數列，假設
是c,c,c,..., 那麼根據定義1,任給一個e>0，e也是有理數，存在N，使得對任何n>N，
都有

|xn-c|
從根號2的近似值序列得出，任給一個有理數e>0，存在N，使得對任何n>N，都有

|xn-根號2|
(5)和(6)能夠推出c=根號2的矛盾。所以，沒有常數數列的等價類是存在的。

在包含序列(3)和(4)的等價類中，任取一個序列Xn，都是根號2的近似值序列。而且
任給一個有理數e>0，存在N，使得對任何n>N，都有

|Xn-根號2|
可以證明任何等價類中都有單調減少基本列與單調增加基本列，且單調減少基本列大
於單調增加基本列。

公理規定，對任何沒有常數數列的等價類，都存在一個無理數y,使得等價類中的任何
基本列都是y的近似值序列。近似到什麼成度呢？假設Yn是單調減少序列，yn是單調
增加序列。那麼y的值永遠在yn和Yn之間。從而有

yn < y < Yn              (8)

根據yn,Yn的等價性得出，任給一個有理數e>0，存在N，使得對任何n>N，都有

|Yn-y|
y是個靜態的常數，其值等於所對應的點到原點的距離。這也是實數的基本列定義的完
備性。

兩個無理數的差定義為對應近似等價類的差所描述的無理數。

需要指出的是，我們的有理基本列的無理定義與柯西的康托的都不相同。柯西將實數
定義為基本列的極限，我們認為不妥。因為極限是以某一對象事先存在為前提的。柯
西的定義隱含邏輯循環。康托把沒有常數數列的等價類定義為無理數。我們認為，等價
類只是無理數的近似值序列。還需要指出，(9)的結論是公理添加無理數的結果，不是
基本列定義自然推出的結果。

(四)有理分劃定義無理數

如果A，B是兩個有理數集，B中的任何一數大於A中的所有數，A與B的交集是空集，A
與B的併集是全體有理數，那麼，我們說，A與B構成一個有理分劃。B稱作上組，A稱作
下組。

還是以根號2為例。把所有平方大於2的正有理數歸為B組，把所有平方小於2的正有理
數歸為A組。這樣我們得到一個有理分劃A|B。還可以很容易的證明，下組沒有最大數，
上組沒有最小數。很明顯根號2大於A組中的所有數，小於B組中的所有數。換句話說，
A，B之間夾一無理數根號2。也就是說，A，B之間有空隙。

那麼，我們能證明所有的下組沒有最大數，上組沒有最小數的有理分劃都有空隙嗎？
不能！

公理規定，任何下組沒有最大數，上組沒有最小數的有理分劃，都夾一個無理數。上
組中的任何有理數都是這個無理數的上近似值，下組中的任何有理數都是這個無理數
的下近似值。上組中的較小數是較好近似值，下組中的較大數是較好近似值。這樣定
義的無理數是個靜態的常數，其值等於所對應的點到原點的距離。

這也是實數的有理分劃定義的完備性。

兩個無理數的差定義為對應上組差和對應下組差構成的分劃所描述的無理數。

需要指出的是，在沒有無理數的某種預先定義情況下，我們不能證明所有的下組沒有
最大數，上組沒有最小數的有理分劃都有空隙。


(五)無理數定義的等價性。

上述的有理數定義，無限不循環小數無理數定義，有理基本列無理數定義與傳統的定
義略有不同。按照這樣的定義，無限不循環小數無理數定義，有理基本列無理數定義，
有理分劃無理數定義將產生相同的無理數集。

那麼哪個定義最好呢？我們認為，無限不循環小數的無理數定義最好。這是因為無限
不循環小數定義用的公理最直觀，敘述最簡潔，推導實數性質最容易。有了這個定義，
可以證明，任何基本列都收斂，所有的下組沒有最大數，上組沒有最小數的有理分劃
都有空隙。