海森堡模型是用來描寫鐵磁體的自旋相互作用的。人們一般只考慮最近鄰相互作用。即使這樣還是難得不得了，連基態都解不出，連在二維晶格基態大約是怎麼樣的還沒有定論，有兩大派。其中一派是大名鼎鼎的P.  W. Anderson，另一派是不那麼大名鼎鼎的Neel。Neel派在二維晶格是可解的，當然不是嚴格的基態。Anderson在60年代提出RVB理論，他通過一些有問題的計算說RVB的狀態能量更低，但苦於無法嚴格證明。

           我和導師在高溫超導的浪潮中發表了一篇論文，通過生成函數得出嚴格解，證明在2*N 的正方形梯狀晶格，Anderson獲勝。從結果來看，在正方形晶格，Anderson也極有可能出線。其中的物理知識，當時只懂皮毛，現在也就略多於皮毛而已。但其中的生成函數計算，卻是我提出並全部獨立完成的。以至於我畢業時，導師給了如下評語："You are independent in mathematics, but not in physics." 對於一個物理博士，聽了這評語，可說是幾分得意，幾分羞愧。用這個例子來說明生成函數的威力，或許能使行外人士感到一種震撼，原來生成函數不是單用來計算幾對兔子或幾塊冰琪淋的數學遊戲。

                如果只有兩個粒子 i和 j，海森堡基態就是Singlet，

(i, j) = 1/SQRT(2) * (|i,↑；j,↓> - |i,↓；j,↑>)。

所謂RVB態，就是認為所有粒子都形成這樣的對子，再把各種狀態進行線性疊加。線性組合的各項中，同樣兩個粒子的配對情況是可以不一樣的。這種狀態的計算難度非常大，所以我又進一步近似，各種狀態權重相同，而且形成的對子僅限於最近鄰格點，同時我們還假定周期性邊界條件。如此假定以後，在梯狀晶格的RVB態能量，就可用生成函數來解。這自然需要高度的技巧，否則這二十多年中早就有人解出了。假如RVB態用|Ψ〉表示，其能量就是 E = <Ψ|H|Ψ> / <Ψ|Ψ>。其中H即海森堡能量算符S_i。S_j（對i,j求和）作為生成函數的例子，我這兒只介紹分母的計算，並且儘量用非“物理”的語言介紹。

                梯狀晶格的RVB態自己乘自己（即分母），其結構相當簡單。如兩個粒子在左右邊的配對相同，乘積的這一部分數值為1。如果不同，這兩個粒子就是一個Loop的一部分，這個Loop上每個粒子的自旋依次上下交替。假定Loop含有2K個粒子其數值為2(1/2)^K，前面的因子2是把所有粒子自旋方向同時翻轉所得。如果讀者對上面Singlet的代數結構略有了解，很容易證明其他項全為0，也很容易算出上面給出的Loop對應的數值。

                不需要太豐富的想象力，我們就可以發現分母對應於如下的圖形。一個個Loop或是緊鄰着，或者被成片的Singlet隔開。Loop 可大可小，Singlet的數目亦可多可少，甚至為0，這就是Loop緊鄰的情況。一般的數學工具，對此可說是束手無策。我這時剛把我博士後導師所著的一本關於排列組合的專著讀了第N遍，決定在此小試牛刀。

                首先算Singlet的生成函數。這兒需要先計算水平（h(x)）和垂直（v(x)）兩種情況。因為書寫條件限制，我們用Sum(下限, 上限, 通項)來表示求和。

h(x) = Sum(1. ∞, x^2K) = x² / (1 - x²)

v(x) = Sum(1.∞, x^K) = x / (1 - x)

Singlet的生成函數為D(x)，D 取自於矩陣中的對角元（Diagonal）。

D = 1 + (2hv + h + v) * Sum(0. ∞, (hv)^K)

   = 1 / (1 - x - x²)

居然和兔子（Fibonacci）問題的生成函數一模一樣。兩者的內在聯繫（Mapping）不複雜，讀者可自己練習。這兒四項對應於四種圖形。比如2hv，分別是水平（垂直）開始，垂直（水平）結束。

                我們再算Loop的生成函數L (x)。

L(x) = 2*Sum(2. ∞, x^K (1/2)^K-1) = x² / (1 - x/2)

前面的因子2是因為一個Loop可以同時由<α|β>和<β|α>得到。

                現在進行總和成，其中會用到周期性邊界條件帶來的便利。在我們的梯子上，上面一行是1，3，3，...，2N-1，2N-1和1也是鄰居。下面一行是對應的2，4，6，，2N。先考慮所有粒子配對的情況（Diagonal）。如1，2配對，

A₁(x) = x D(x)

如1，2不配對，1和3或2N-1配對，2也類似

A₂(x) = 2x² D(x)

                再考慮不對角的元素，但1，2還是可能對角的，我們先考慮這一部分。如1，2配對，

B₁(x) = xD²L * Sum(0. ∞, (DL)^K)

                = x³D / (1 - 3/2 x - 3/2 x² + 1/2 x³) Ξ x³D(x) / E(x)

這兒的圖形意義稍微複雜點。（1，2）的左右都可能有Singlet，所以兩邊都要放一個D。因為全部對角的情況已被A₁(x)考慮，所以至少要一個L。然後就是D和L成對出現，記着（1，2）左邊可能的Singlet已經被求和號外的一個D涵蓋了。也可能整個系統只有一個Loop，所以求和從0開始。1，2對角但不配對的情況完全類似，

B₂(x) = 2x⁴D(x) / E(x)

                最後考慮1，2部對角的情況，這時1，2是一個Loop的一部分。對於一個長度為K（2K個粒子）包含1，2的Loop，它可以放置K個不同的位置，所以我們需要計算一個特殊的Loop。

L_s(x) = L(x) = 2*Sum(2. ∞, K x^K (1/2)^K-1) = (2 - x/2)x² / (1 - x/2)²

B₃(x) = D L_s * Sum(0. ∞, (DL)^K) = [(2 - x/2)x²] / [(1 - 2/2) E(x)]

把所有AB加起來，

<Ψ|Ψ> = A₁(x) + A₂(x) B₁(x) + B₂(x) + B₃(x)

                分子<Ψ|H|Ψ>的計算非常類似，但稍微再麻煩一點。最後結果是Anderson = -0.557, Neel = -0.553，Anderson勝。

                這個物理問題，算不上歷史難題，但也絕對是硬骨頭一塊，居然被只涉及高中代數的生成函數給解決了，只是在最後取極限時用到了一點大學的（淺顯的）分析知識。一般人剛接觸那些經典的生成函數問題，比如100個球放5個筐等，都覺得是殺雞用牛刀，一怒之下就扔到一邊去了。但在這個問題上，生成函數絕對是殺牛用雞刀了。儘管整個過程要求非常嚴密的思考，真可謂心細如髮，也需要很高的生成函數技巧，但從概念上說，厲害點的高中生只要耐着性子看，是能看懂的。

                這篇論文在1987年的高溫超導熱浪中，是唯一的一個嚴格解。我收到了幾十份索取複印件的明信片，那時沒有PDF，還要拿着厚厚的Physical  Review 使勁壓平，真是苦不甚言。Anderson教授沒有寄信，但他的合作者，匈牙利著名物理學家Fazekas寄來了明信片。同辦公室的同學看到，"Wow, you now have international reputation."

                今年去母校Reunion，導師高興的告訴我，至少一個很著名的物理學家試圖把我的方法延伸到二維正方形晶格，但沒有成功。我自己也嘗試多次，但都鎩羽而歸。也有人在梯狀晶格做研究，不知道我的論文，結果論文寄出後，Referee告訴他們，早就有人做出了，而且是嚴格解。