一年级极限数学题比较细腻的解答(改错重贴)-灵机一动-万维论坛-万维读者网（电脑版）

送交者: 粱远声 2016年01月03日08:25:37 于 [灵机一动] 发送悄悄话

一年级极限数学题讨论解稍嫌粗糙

我曾这样解过这道题：
求：
lim(t->1-) sqrt(1-t)(t^(1^2) + t^(2^2) + t^(3^2) + ... + t^(n^2) + ...)
令 dx = sqrt(1-t)
t = 1 - dx^2
原式 = sqrt(1-t)(t^(1^2) + t^(2^2) + t^(3^2) + ... + t^(n^2) + ...) =
dx( (1 - dx^2)^(1^2) + (1 - dx^2)^(2^2) + (1 - dx^2)^(3^2) + ... + (1 - dx^2)^(n^2) + ...) =
dx( [(1 - dx^2)^(1/dx^2)]^(dx^2)] + [(1 - dx^2)^(1/dx^2)]^((2dx)^2) +
[(1 - dx^2)^(1/dx^2)]^((3dx)^2) + ... + [(1 - dx^2)^(1/dx^2)]^((ndx)^2) + ... )
因为[(1 - dx^2)^(1/dx^2)] -> e^(-1)
原式可近似写成
原式 = (e^( -dx^2) + e^(-(2dx)^2) + e^(-(3dx)^2) + e^(-(ndx)^2) + ...)dx
让dx趋近于0,
上式 -> Int(0,inf)[e^(-x^2)dx]
做到这里，稍嫌粗糙。严格的做法是证明
当k = 1,2,3...,n 时，
e^(-((k+1)dx)^2) < (1 - dx^2)^(k^2) < e^(-(kdx)^2)

根据不等式 1 - x < e^(-x), 很容易证明 (1 - dx^2)^(k^2) < e^(-(kdx)^2)
要想证明 e^(-((k+1)dx)^2) < (1 - dx^2)^(k^2)，只需证明
e^(-((1+1/k)dx)^2) < 1 - dx^2 (1)
令 y = 1 - x^2 - e^(-(1+1/k)^2 x^2)
y(0) = 0
dy/dx = 2x((1+1/k)^2 e^(-(1+1/k)^2 x^2) - 1)
如果找到x的区间使得dy/dx > 0。这个区间也是(1)成立的区间。问题归结为，找到x的区间使得

e^(-(1+1/k)^2 x^2) < (1+1/k)^2
令 x = d/n。问题归结为，找到d的区间使得
e^(-(1+1/k)^2 (d/n)^2) < (1+1/k)^2
d^2 < (2n^2/k)ln(1+1/k)^k/(1+1/k)^2
因为ln(1+1/k)^k单调增加，(1+1/k)^2单调减少，
Min ln(1+1/k)^k/(1+1/k)^2 = ln(2)/4
当 d^2 < 2nln(2)/4 时， (1)成立。
取 d = sqrt(n)/2; dx = d/n; lim(n->inf)dx = 0; lim(n->inf)d = inf,
我们有
e^(-((k+1)dx)^2) < (1 - dx^2)^(k^2) < e^(-(kdx)^2)
令
f(n) = ( (1 - dx^2)^(1^2) + (1 - dx^2)^(2^2) + ... + (1 - dx^2)^(n^2))dx
p(n) = (e^( -dx^2) + e^(-(2dx)^2) + ... + e^(-(ndx)^2))dx
g(n) = (e^( -2dx^2) + e^(-(2dx)^2) + ... + e^(-((n+1)dx)^2))dx
得到
g(n) < f(n) < p(n)
因p(n), g(n)趋近于同一极限Int(0,inf)[e^(-x^2)dx]
所以
f(n) 趋近于 Int(0,inf)[e^(-x^2)dx]

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