证明：14个整数的4次方和不可能为1599。题目没有说是正整数，但是0使问题困难了好多，所以假定要求正整数，并以此求解。

任何数的偶次方幂除以3，除了3及其倍数余数为0，其余余数为1。我们称这除三性。这儿的关键是用除三性要求两边除以3以后余数相等。我们用（6，4。。。）表示6和4已经选定，其他数字待定。

因为现在0已经排除，允许值为1-6。先考虑用14个1234凑出1599。由除三性，右边余数为0，左边的14个数，3只能出现2，5，8，11次之一。从数值上看，4种情况全是允许的。14个3显然不是解答。

考虑（3x2。。。），还剩1437。就是要用12个124凑出1437。因为2和4的4次方均是16的倍数，我们至少要用1把1437减少到16x89=1424，即要减去13。因为最多只有12个1可用，故（3x2。。。）无解。

现在我们证明从（3x2。。。）可以导出，其余3种也是无解。当我们增加3个3，即左边增加243，剩下的数字就减少243=16x15+3。就是说到时候把剩余的数降到16的倍数时，对1的需求会减少3。但是14个数里可以利用的数也减少了3。所以剩下的数字全部取1，还是和上面一样缺1个。所以其余三种情况也是同样无解。

考虑（6。。。）。因为左边加6的四次方，从除三性的角度，和全部用1234并无区别，所以最后也是需要13个1，但只有12个可用。

考虑（5x2。。。），还剩349。由除三性，右边余数为1，左边有12个数可用，3只能出现2，5，8，11次之一。5个3 已经太大。所以3只能出现2次，还剩187，就是用10个124凑出187。同上，我们至少要把187减少到16x11=176，即要减去11。因为最多只有10个1可用，故不能用2个5。

考虑（5。。。），还剩974。由除三性，右边余数为2，左边有13个数可用，3只能出现2，5，8，11次之一。4种情况数值全部允许，下面分别考虑。

考虑（5，3x2。。。），还剩812。就是要用11个124凑出812。同上，我们至少要把812减少到16x50=800，即减少12。因为最多只有11个1可用，故（5，3x2。。。）无解。

其余三种情况，如前面所证明的，最后也是要减少12，但只有11个1可以用。

至此全部证明。但从结果来看，都是可利用的1比需要的1少一个，所以很可能还有更好的方法。欢迎踊跃投稿。