高考物理附加題：用角動量解釋陀螺不倒是矇事的
請問，如果陀螺轉速為0，是不是進動要無限快。好，就算將這個極端情況去掉，如果
陀螺轉速很慢，比如一分鐘一轉或者24小時一轉，陀螺會倒下還是以很快的速度進動？
顯然當陀螺轉速很慢，陀螺要倒下而不是以很快的速度進動而保持不倒。
圖：用角動量解釋陀螺不倒是矇事的.png
所以基本上全世界的物理老師都沒學懂，隨便拿個碰巧對上答案的說法來矇事欺騙
學生的。又想了一下，陀螺儀向 F 方向倒下去，與向 τ 方向平轉過去，角動量的變化都是
ΔL = r X Δv 。只不過 r 不一樣而已。得到的大小和方向是一樣的。嘿嘿。虧得
本妖沒去北大物理系或什麼台大物理系，不然牠們的教授將像華南工學院計算機系
的教授一樣被問得答不上來。
生不逢愛因斯坦，長夜漫漫何時旦。高考物理附加題：角動量變化量都是 ΔL ，為啥
有時（轉速慢時）陀螺選擇倒下，有時（轉速快時）
陀螺又選擇不倒下而作水平方向旋轉（進動）？
用角動量解釋陀螺不倒是矇事的嗎？
用角動量解釋陀螺不倒用的是公式 dM/dt = T,其中M是角動量, T是外加力矩。穩態條件下，用的公式是 d(wI)/dt = T，其中I是轉動慣量，w是轉動角速度。是不是矇事，稍後再做結論。但是這樣講陀螺肯定是不容易讓學生懂的。
那麼怎樣講解才能使學生易懂呢？當然是從科里奧利加速度入手才能講的比較透徹。
現在就以題中自行車輪陀螺模型為例討論這個問題。
假設輪子的質量都集中在輪圈上，車軸和車條的質量忽略不計，車軸與車輪之間沒有摩擦。輪圈的質量為 m ，輪子半徑為R，軸長為L。輪圈質點轉動的線速度是V。
假設初始條件是車軸水平，底端接在吊繩上，以角速度a下垂。按照科里奧利加速度公式，輪圈質點加速度是 2a x V, 翻轉角速度是 2a x V/R = 2a x w。這是為了保證以角速度a下垂，外力應該給的角加速度。因為沒有這個外力，陀螺以a為參考方向，以力矩 2w x a(mR^2/2)翻轉。其中，mR^/2翻轉轉動慣量。經過一系列的微變過程，車軸以水平姿態，以繩接點為中心轉動。這時，a的方向已經變了。假如這時進入穩態，翻轉力矩應該和外加力矩相等：
2w x a(mR^2/2) = mgL
w x a(mR^2) = mgL (1)
陀螺的旋轉慣量是 I = mR^2，代入上式得
wI x a = mgL (2)
d(wI)/dt = wI x a
經比較得到
d(wI)/dt = mgL
d(wI)/dt = T (3)
對於一般的陀螺穩態，（3)是近似的。但對於陀螺中軸水平的情況（3)是精確的（只有水平的角動量是變化的。車輪繞繩接點轉的角動量aL^2m是常量。車輪以直徑為軸的角動量aR^2m/2也是常量）。從 (1)得到的進動角速度是
a = mgL/(wI) (4)
那麼如果陀螺轉動角速度幾乎為0，是不是進動要無限快。如果陀螺轉動角速度很慢,陀螺會倒下還是以很快的速度進動？顯然當陀螺轉速很慢，陀螺要倒下而不是以很快的速度進動而保持不倒。
這個問題要這樣解釋。(1),(4)是陀螺穩態表達式。假設w很小，初始狀態車軸水平。陀螺的外加力矩mgL, 下垂慣量L^2m + R^2m/2, 下垂角加速度
da/dt = mgL/(L^2m + R^2m/2)
得到a後,翻轉力矩 2w x a(mR^2/2)很小，不能使陀螺進入水平進動狀態。所以就不能用(4)來描述進動角速度。
(4)是陀螺穩態表達式。用它解釋陀螺不倒是不合適的。但是用 dM/dt = T 解釋陀羅的全過程是沒有問題的。
