我也谈谈平行电容器介质受力问题(一)

平行板电容器极板间放一块介电常数为e 的固体介质。已知平板电容器的极板长度为 
L，宽度为 W ，极板间距离为 h ，极板间加电压 u ，如果现在介质已插入极板间
部分的长度为x，求要将介质继续往里插得用多少力？如果其他条件不变，只是断开电
池，继续往里插入要用多少力？

看到网友们讨论这个问题，我感觉到这不是一个简单的问题。我认为出题者可能也没
想到这问题的难度。什么是介质受力的来源？

有网友提出: 介质极化后靠近正极一边分布负电荷，靠近负极一边分布正电荷。介质
负电荷受到右边正极板正电荷的吸力，同时又受到右边负极板负电荷的斥力。但是由
于介质负电荷与右边负极板较远，且有一个角度，所以斥力较小。合力体现吸力。同
理介质正电荷受到的合力也是吸力。

也有网友提出：是电容的边界效应造成。

我赞成第一种说法，合力是没有介质区域的自由电荷对介质上极化电荷的作用力。按
照这个假定，加电源后介质受力情况与电源断开后介质受力情况相同。介质全部推进
后，受力为零。

我提出这样一个模型：设介质没有插入时电容的容量为c0, 介质完全插入时电容的容
量为c1。令 Q0 = uc0，Q1 = uc1。

现在假定介质已插入极板间部分的长度为x，准备再插入dx。在插入dx前，加电源。

细条的电容是 dc0 = e0wdx/h， 电量是 dQ0 = udc0

电场能是 dE0 = u^2dc0/2                          (1)

在插入dx后，

细条的电容是 dc1 = e1wdx/h,  电源充电前,细条的电压降到 v = dQ0/dc1

电场能是 dE1 = dQ0^2/(2dc1) = u^2dc0^2/(2dc1)    (2)

dE1 - dE0 = u^2dc0^2/(2dc1) - u^2dc0/2 = u^2(dc0^2/dc1 - dc0)/2 

= u^2dc0(dc0/dc1 - 1)/2                          (3)

dE1 - dE0 是在插入dx后，细条的电压降到 v = dQ0/dc1，还没有被周围的电荷或
电源充电时的能量变化。这个能量变化与是否接电源无关。而周围的电荷或电源对细
条充电是在插入dx后进行的,与介质受力做功无关。所以介质受力

F = (dE1 - dE0)/dx = u^2e0w(e0/e - 1)/(2h)       (4) 

F小于零，是吸力。这个结果与所有教科书上的结果不同。

一般教科书上的做法是 F = d(Q^2/2c)/dx             (5)
其中，c 是电容容量，Q 是电容电量。

如果我们把问题稍作修改：介质的长度比极板长度小，介质全部插入，且左边空隙的
长度比右边空隙的长度小。那么按照合力是没有介质区域的自由电荷对介质上极化电
荷的作用力假设，介质受到一个向右的力。但(5)给出的结果是受力为零。所以这个问
题还没有完全解决。

对修改后的问题，(4)比(5)好。