我也談談平行電容器介質受力問題(三)

平行板電容器極板間放一塊介電常數為e 的固體介質。已知平板電容器的極板長度為 
L，寬度為 w ，極板間距離為 h ，極板間加電壓 u ，如果現在介質已插入極板間
部分的長度為x，求要將介質繼續往裡插得用多少力？如果其他條件不變，只是斷開電
池，繼續往裡插入要用多少力？

先假定介質的寬度長度與極板相同。假定有介質極板部分的電荷密度是常數，
有介質極板部分的電荷密度也是常數。
一般教科書上虛功求力的做法是 F = d(Q^2/2c)/dx             (1)
其中，c 是電容容量，Q 是電容電量。不考慮邊緣效應，電容器容量的模型是
c = (ewx + e0w(L-x))/h                             (2)
(2) 代入 (1) 得到
F = Q^2h(e-e0)/(2w(e0(L-x)+ex)^2)                      (3)

把介質極化看成是偶極子的有序排列，介質區域微體積dv在電場中受到X方向的力是
dFx = dv(e-e0)E .(d/dx, d/dy, d/dz)Ex                   (4)
其中，E是場強，Ex是E在X方向上的分量，(e-e0)E是極化強度
(4)經過整理後變成
dFx = dv(1/2)(e-e0)d(E^2)/dx                         (5)
用S(domain)表示積分符號與區域
Fx = S(v)dv(1/2)(e-e0)d(E^2)/dx                       (6)
式中 v 是介質的區域。
Fx = S(0,h)dz S(0,w)dy S(-(L-x),x)[(1/2)(e-e0)d(E^2)/dx]dx 
E^2(x) = (u/h)^2, E^2(-(L-x)) = 0                     (7) 
Fx = (1/2)w(e-e0)u^2)/h = Q^2h(e-e0)/(2w(e0(L-x)+ex)^2)     (8)

(8)與(3)相同。這似乎印證了（3）的正確性。但是如果我們考察（8)和（3）
的假定，就會發現兩者的假定是不同的。

（A）如果我們假定電容器兩極板之間的場強是常數，且垂直於極板，外
面的場強為零。也就是說沒有邊緣效應。虛功求力模型（3）的結果沒有變。
但是偶極子在電場中受力公式（8）的結果卻是零（電容器兩極板之間場強
垂直於極板，外面的場強為零，推導的結果就是零）。

（B）如果我們假定電容器兩極板之間的場強幾乎是常數，且垂直於極板，
外面的場強逐漸減小。也就是說有邊緣效應。虛功求力模型（3）的結果
沒有變。但是偶極子在電場中受力公式（8）的結果只有在電容器外介質
長度為充分大的情況下，才與（3）相等。

模型（3）沒有體現介質在電容器外的長度。如果介質在電容器外的長度
很小，虛功求力模型（3）的結果沒有變。但是偶極子在電場中受力公式（8）
給出的結果幾乎是零（E^2(x) = (u/h)^2, E^2(-dx)接近(u/h)^2）。
如果介質在電容器外的長度較大（L/3)，又不是充分大，虛功求力模型（3）
的結果沒有變。但是偶極子在電場中受力公式（8）給出的結果比（3）小
（E^2(x) = (u/h)^2, E^2(-L/3)大於零）。

從上面的分析看，（8）的結果給出介質偶極子在電容器電場中受力的上限。
虛功求力模型（3）的結果比實際要大。

如果我們對虛功求力模型做如下修改: 假定電容器兩極板之間的場強接近
常數，在中心場強最大，從中心到邊緣逐漸減小。介質在電容器外的長度
越大電容越大。從能量角度看，x在中心，推進dx,比x偏心，能量變化大。
x在同一位置，推進dx,介質在電容器外的長度越大，能量變化越大。再
考慮介質損耗。

這樣，虛功求力模型，介質偶極子在電容器電場中受力模型，沒有介質區
域的自由電荷對介質上極化電荷的作用力模型才有可能統一起來。

如果介質的長度改為L/2，介質全部插入，且左邊空隙的長度比右邊空隙
的長度小。那麼按照介質受力是沒有介質區域的自由電荷對介質上極化電
荷的作用力假設，介質受到一個向右的力。介質偶極子在電容器電場中受
力模型,因介質右端點的場強大於介質左端點的場強,給出一個向右的力。
改進的虛功求力模型,因介質右端點推進dx,能量變化大(負的),介質左
端點推進dx,能量變化小(正的),給出一個向右的力。