證明以四個奇數數字1、3、7、9任意排列組成的四位數，必定不是一個完全平方數

無論這四個奇數如何排列，被3除後，其餘數都是2。因為k(10^n)被3除的餘數是k。所以，四個奇數排列，被3除，餘數是1+3+7+9=20，再除，餘數是2。四個奇數排列，結果一定是奇數。假定能寫成一個數的平方數，那這個數也一定是奇數。那就是假定，四個奇數排列 = （2n+1)^2=4n^2+4n+1。把n寫成3q+m。

4n^2+4n+1=4(3^2 q^2+6qm+m^2)+4(3q+m)+1。被3除的餘數是

4m^2+4m+1=(2m+1)^2。枚舉m=0,1,2。(2m+1)^2被3除的餘數都不是2。這矛盾。這就證明了這四個奇數排列必定不是一個完全平方數。