證明：14個整數的4次方和不可能為1599。題目沒有說是正整數，但是0使問題困難了好多，所以假定要求正整數，並以此求解。

任何數的偶次方冪除以3，除了3及其倍數餘數為0，其餘餘數為1。我們稱這除三性。這兒的關鍵是用除三性要求兩邊除以3以後餘數相等。我們用（6，4。。。）表示6和4已經選定，其他數字待定。

因為現在0已經排除，允許值為1-6。先考慮用14個1234湊出1599。由除三性，右邊餘數為0，左邊的14個數，3只能出現2，5，8，11次之一。從數值上看，4種情況全是允許的。14個3顯然不是解答。

考慮（3x2。。。），還剩1437。就是要用12個124湊出1437。因為2和4的4次方均是16的倍數，我們至少要用1把1437減少到16x89=1424，即要減去13。因為最多只有12個1可用，故（3x2。。。）無解。

現在我們證明從（3x2。。。）可以導出，其餘3種也是無解。當我們增加3個3，即左邊增加243，剩下的數字就減少243=16x15+3。就是說到時候把剩餘的數降到16的倍數時，對1的需求會減少3。但是14個數里可以利用的數也減少了3。所以剩下的數字全部取1，還是和上面一樣缺1個。所以其餘三種情況也是同樣無解。

考慮（6。。。）。因為左邊加6的四次方，從除三性的角度，和全部用1234並無區別，所以最後也是需要13個1，但只有12個可用。

考慮（5x2。。。），還剩349。由除三性，右邊餘數為1，左邊有12個數可用，3只能出現2，5，8，11次之一。5個3 已經太大。所以3只能出現2次，還剩187，就是用10個124湊出187。同上，我們至少要把187減少到16x11=176，即要減去11。因為最多只有10個1可用，故不能用2個5。

考慮（5。。。），還剩974。由除三性，右邊餘數為2，左邊有13個數可用，3只能出現2，5，8，11次之一。4種情況數值全部允許，下面分別考慮。

考慮（5，3x2。。。），還剩812。就是要用11個124湊出812。同上，我們至少要把812減少到16x50=800，即減少12。因為最多只有11個1可用，故（5，3x2。。。）無解。

其餘三種情況，如前面所證明的，最後也是要減少12，但只有11個1可以用。

至此全部證明。但從結果來看，都是可利用的1比需要的1少一個，所以很可能還有更好的方法。歡迎踴躍投稿。