已知n是正整数。证明二次项系数(n,1),(n,2),...,(n,n-1)全都是偶数的充分条件是n为2的方幂。

证明：

考虑(2^m, 2^(m-1))。现在把其分子整数和分母的整数列出来。

分子：

2^m,  2^m-1,  2^m-2, …,  2^m-(2^(m-1)-1)

分母：

                1,             2,    …,       2^(m-1)-1,             2^(m-1）                (1)

分母的第k项，对应分子的2^m-k, 1 <= k <= 2^(m-1)-1。

现在证明k中2因子的个数与2^m-k中2因子的个数相等:

假设k中只有i个2因子

k=2^i(k/2^i)

2^m-k= 2^i(2^(m-i) + k/2^i)

因k/2^i不能被2整除，k中2因子的个数与2^m-k中2因子的个数相等。又因为

1 <= k <= 2^(m-1)-1

k中2因子的个数 i < m-1。

考查(2^m, 2^(m-1))的表格(1), 约去分母中

                1,             2,    …,       2^(m-1)-1,  

中的2因子，得到如下2因子

分子：

2^m,  

分母：

                                                                                2^(m-1)

这样，(2^m, 2^(m-1))能被2整除。

(2^m, 2^(m-1)-1)的分子整数和分母的整数表格是

分子：

2^m,  2^m-1,  2^m-2, …,  2^m-(2^(m-1)-2)

分母：

                1,             2,    …,       2^(m-1)-2,          2^(m-1)-1

约去分母中

                1,             2,    …,       2^(m-1)-2

中的2因子，得到如下2因子

分子：

2^m,  

分母：

                                                                              2^(m-1)-1中的2因子

因2^(m-1)-1中的2因子个数<m-1, 所以，(2^m, 2^(m-1)-1)能被2整除。

以此类推，(2^m, 1), (2^m, 2),…., (2^m, 2^(m-1))都能被2整除。也就是说，当n为2的方幂时，(n,1),(n,2),...,(n,n-1)全都是偶数。