当一个素数p被5除后的余数是2时，则F(p+1)能被p整除。

证明：

先假设p是奇数。

F(p+1)=[((1+sqrt(5)/2)^(p+1) - ((1-sqrt(5)/2)^(p+1)]/sqrt(5)

展开后，相减，只剩奇数项：

F(p+1)=[(p+1,1)sqrt(5) +(p+1,3)sqrt(5)^3+...+(p+1, p)sqrt(5)^p]/((sqrt(5)2^p)

F(p+1)=[(p+1,1) +(p+1,3)5+...+(p+1, p)5^((p-1)/2)]/2^p             (1)

[ ]中除了第一项和最后一项，都能被p整除。现在讨论第一项和最后一项的和：

(p+1)(1+5^((p-1)/2))能否被p整除。也就是讨论

1+5^((p-1)/2))能否被p整除。由二次互反律，

5^((p-1)/2) (mod p) = p^2 (mod 5) = 2^2 (mod 5)=-1          (2)

这样，1+5^((p-1)/2))能被p整除。

这样(1)中的[ ]=pq。又因p中没有2因子，2^p一定整除q。从而F(p+1)被p整除。

如果p被5除后的余数是3时，(2)中的2^2 (mod 5)=-1 变成

3^2 (mod 5)=-1 

也就是说，如果p被5除后的余数是3时，F(p+1)也被p整除。