当一个素数p被5除后的余数是1或4时，则F(p-1)能被p整除。

证明：

F(n)=[((1+sqrt(5)/2)^n - ((1-sqrt(5)/2)^n]/sqrt(5)

先假设p是奇数。

F(p-1)=F(p+1)-F(p)            (1)

F(p+1)的展开式是

F(p+1)=[(p+1,1) +(p+1,3)5+...+(p+1, p)5^((p-1)/2)]/2^p             (2)

F(p+1) (mod p) = (p+1)[1+5^((p-1)/2)]/2^p       (3)

F(p)的展开式是

F(p)=2[(p,1) +(p,3)5+...+(5^((p-1)/2)]/2^p             (4)

F(p) (mod p) = 2[5^((p-1)/2)]/2^p       (5)

[F(p+1) - F(p)] (mod p) =

 ((p+1) + (p+1)[5^((p-1)/2)] - 2[5^((p-1)/2)])/2^p (mod p)=

(1 - 5^((p-1)/2))/2^p (mod p)                           (6)

最后归结成

5^((p-1)/2) (mod p) 是否=1的问题。

由二次互反定律，

5^((p-1)/2) (mod p) = p^2 (mod 5)          (7)

如果p被5除后的余数是1, 把p=5k+1代入上式得

p^2 (mod 5) = 1^2 (mod 5) = 1。

这样（6)=0。F(p-1) 能被p整除。

如果p被5除后的余数是4时，把p=5k+4代入(7)得 

p^2 (mod 5) = 4^2 (mod 5) = 1。

也就是说，如果p被5除后的余数是4时，F(p-1)也被p整除。