‘无生一，一生二，二生万物’：构造无理数

作者：定理

一，缘起

西线晨雾网友问，假设有理数的乘法交换律是成立的，怎样证明无理数的乘法交换律？乍一看，这问题似乎琐屑，既然有理数密集地（densely）分布在实数集里，乘法在实数中又是个连续的操作（operation），从有理数取极限不就行了吗？这不行，因为‘乘法在实数中是个连续的操作’本身就需要乘法在实数中被好好地定义（well-defined）而且需要该定义满足了这连续性。那么，可不可以用如下的定义来一蹴而就呢：

对任何两个实数x和y, 如果x是一列有理数x1,x2,x3,...的极限点（accumulation points）而且y是一列有理数y1,y2,y3,...的极限点，那么令xy等于x1y1, x2y2, x3y3,... 的极限点?

还不行。因为‘极限’建基于‘距离’的无穷缩小，而距离却是用实数来衡量的（如果光用有理数来量距离，那么我们永远走不出有理数这框框），于是，我们还需定义甚么是实数。就算我们假设其中的有理数已经被好好地定义了，那么其他的实数是甚么呢？无理数吗？怎么从有理数出发来定义无理数呢？总不能自我循环地令无理数等于有理数的‘极限’点吧？

最简捷的解法，是微积分课本里的，一开始就假设有一个实数集，并假设一大堆的公理成立，包括四则运算以及乘法运算的交换率。问题是，这个‘解法’并不是从有理数开始的，而是同时假设了有理数和无理数及其运算法则，所以它回答不了西线晨雾网友的提问。

二，主意

从纯数学的角度来看，一个数字，或一个运算操作，就是人类用来描述某些事物或过程的一个抽象概念。问题是，当我们要用到一大堆抽象概念的时候，例如一大堆实数及它们之间的运算操作的时候，这些概念之间会不会互相矛盾？当我们用到一个抽象概念的时候，我们能绝对肯定它真的是有意义的吗？如果不能的话，能不能尽可能少地使用那些原始的，不得不假设其有意义的抽象概念？

为了解决这大本大原的问题，纯数学家们的办法是构造：连1，2， 3， 2的平方根，圆周率这些貌似伸手可及的数字，他们都不愿假设其无条件地存在和有意义，而要从最根本最原始的概念出发，把它们一一构造出来：

他们先从空集开始，通过递归这一概念来构造出

0，1， 2， 3， ..., n,... 无穷大，..., 无穷大地无穷大，..., 比无穷大地无穷大还要无穷大地无穷大，...，

又通过加这一运算概念，从0，1， 2， 3， ..., n,... 这些（小于无穷大的）非负整数构造出所有整数，再通过乘这一运算概念，从整数构造出所有有理数，再从有理数构造出所有的实数，包括无理数。

这正合了《老子》的神韵：无生一，一生二，二生三，三生万物，以至无穷。

在无理数的构造过程中，其乘法运算也随之构造而出；西线晨雾网友所要的交换律就水到渠成，直接出自定义了。

（待续）