‘無生一，一生二，二生萬物’：構造無理數

作者：定理

一，緣起

西線晨霧網友問，假設有理數的乘法交換律是成立的，怎樣證明無理數的乘法交換律？乍一看，這問題似乎瑣屑，既然有理數密集地（densely）分布在實數集裡，乘法在實數中又是個連續的操作（operation），從有理數取極限不就行了嗎？這不行，因為‘乘法在實數中是個連續的操作’本身就需要乘法在實數中被好好地定義（well-defined）而且需要該定義滿足了這連續性。那麼，可不可以用如下的定義來一蹴而就呢：

對任何兩個實數x和y, 如果x是一列有理數x1,x2,x3,...的極限點（accumulation points）而且y是一列有理數y1,y2,y3,...的極限點，那麼令xy等於x1y1, x2y2, x3y3,... 的極限點?

還不行。因為‘極限’建基於‘距離’的無窮縮小，而距離卻是用實數來衡量的（如果光用有理數來量距離，那麼我們永遠走不出有理數這框框），於是，我們還需定義甚麼是實數。就算我們假設其中的有理數已經被好好地定義了，那麼其他的實數是甚麼呢？無理數嗎？怎麼從有理數出發來定義無理數呢？總不能自我循環地令無理數等於有理數的‘極限’點吧？

最簡捷的解法，是微積分課本里的，一開始就假設有一個實數集，並假設一大堆的公理成立，包括四則運算以及乘法運算的交換率。問題是，這個‘解法’並不是從有理數開始的，而是同時假設了有理數和無理數及其運算法則，所以它回答不了西線晨霧網友的提問。

二，主意

從純數學的角度來看，一個數字，或一個運算操作，就是人類用來描述某些事物或過程的一個抽象概念。問題是，當我們要用到一大堆抽象概念的時候，例如一大堆實數及它們之間的運算操作的時候，這些概念之間會不會互相矛盾？當我們用到一個抽象概念的時候，我們能絕對肯定它真的是有意義的嗎？如果不能的話，能不能儘可能少地使用那些原始的，不得不假設其有意義的抽象概念？

為了解決這大本大原的問題，純數學家們的辦法是構造：連1，2， 3， 2的平方根，圓周率這些貌似伸手可及的數字，他們都不願假設其無條件地存在和有意義，而要從最根本最原始的概念出發，把它們一一構造出來：

他們先從空集開始，通過遞歸這一概念來構造出

0，1， 2， 3， ..., n,... 無窮大，..., 無窮大地無窮大，..., 比無窮大地無窮大還要無窮大地無窮大，...，

又通過加這一運算概念，從0，1， 2， 3， ..., n,... 這些（小於無窮大的）非負整數構造出所有整數，再通過乘這一運算概念，從整數構造出所有有理數，再從有理數構造出所有的實數，包括無理數。

這正合了《老子》的神韻：無生一，一生二，二生三，三生萬物，以至無窮。

在無理數的構造過程中，其乘法運算也隨之構造而出；西線晨霧網友所要的交換律就水到渠成，直接出自定義了。

（待續）