生成函數方法雖然很爽，但需要用到高中數學才接觸到的導數甚至台勒展開方法。這裡來個Fibonacci數列初中代數的推導方法。這個初中方法雖然簡單易學（兒子的feedback）
，但並不小兒科。與生成函數方法並列，這個初中代數方法也是推倒微分方程級數展開解展開係數的最常用手段之一。

Fibonacci數列 的遞歸表達為:

    F(n) = F(n-1) + F(n-2)

這是一個2次遞歸式。這個初中代數方法的精髓是把這個2次線性遞歸式寫成一個（准）1次線性遞歸式:

    G(n) = b*G(n - 1)

這裡

    G(n) = F(n) - a*F(n-1)

比較原2次遞歸式，不難找到常數a，b的對稱關係:

   a + b = 1
   a*b = -1

很容易得到這個2次方程組的解為：

   a = (1+sqrt(5))/2,
   b = (1 - sqrt(5))/2

G(n)的1次遞歸關係G(n) = b*G(n - 1)的結果顯然給出G(n)是個等比（幾何）級數：

   G(n) = b^(n-1)

用F(n)表達，並考慮到a，b的交換對稱性，上面的式子可以寫成如下兩個式子:

   F(n) - a*F(n-1) = b^(n-1)
   F(n) - b*F(n-1) = a^(n-1)

兩式相減就的到F(n)的通項式關係:

   (a - b)*F(n-1) = a^(n-1) - b^(n-1)

從而的到最終結果：

   F(n) = (a^n - b^n)/(a - b) = (a^n - b^n)/sqrt(5)

推導完畢。。。