碰到这么一到题：

一个等边三角形A1的第一个顶点在原点（0，0），第二个顶点在抛物线y=x^2上，第三个顶点在第一个顶点的正上方（所以，A1的一个边就在y轴上）。类似，第二个等边三角行A2的第一个顶点就是A1的第三个顶点，A2的第二个顶点也在抛物线y=x^2上，A2的第三顶点在其第一个顶点的正上方。。。。依次类推，第n个等边三角形An的第一个顶点就是第n-1个三角形A(n-1)的第三个顶点（在y轴上），其第二个顶点在抛物线y=x^2上，其第三顶点在其第一顶点的正上方。问第n个等边三角形An的边长。

这道题可以用初中代数方法球解（儿子他们已经学完解析几何了），结果很简单，就是个等差级数。但是所用的初中代数方法似乎技巧性偶然性太强，没什么启发性。所以，我想知道这道题有什么深入的背景。另外，因为是等差序列，很容易反推出这题的生成函数f(z)就是~z/（1-z）。我想知道有什么正推的方法直接导出这个生成函数。先谢了。。。。