海森堡模型是用来描写铁磁体的自旋相互作用的。人们一般只考虑最近邻相互作用。即使这样还是难得不得了，连基态都解不出，连在二维晶格基态大约是怎么样的还没有定论，有两大派。其中一派是大名鼎鼎的P.  W. Anderson，另一派是不那么大名鼎鼎的Neel。Neel派在二维晶格是可解的，当然不是严格的基态。Anderson在60年代提出RVB理论，他通过一些有问题的计算说RVB的状态能量更低，但苦于无法严格证明。

           我和导师在高温超导的浪潮中发表了一篇论文，通过生成函数得出严格解，证明在2*N 的正方形梯状晶格，Anderson获胜。从结果来看，在正方形晶格，Anderson也极有可能出线。其中的物理知识，当时只懂皮毛，现在也就略多于皮毛而已。但其中的生成函数计算，却是我提出并全部独立完成的。以至于我毕业时，导师给了如下评语："You are independent in mathematics, but not in physics." 对于一个物理博士，听了这评语，可说是几分得意，几分羞愧。用这个例子来说明生成函数的威力，或许能使行外人士感到一种震撼，原来生成函数不是单用来计算几对兔子或几块冰琪淋的数学游戏。

                如果只有两个粒子 i和 j，海森堡基态就是Singlet，

(i, j) = 1/SQRT(2) * (|i,↑；j,↓> - |i,↓；j,↑>)。

所谓RVB态，就是认为所有粒子都形成这样的对子，再把各种状态进行线性叠加。线性组合的各项中，同样两个粒子的配对情况是可以不一样的。这种状态的计算难度非常大，所以我又进一步近似，各种状态权重相同，而且形成的对子仅限于最近邻格点，同时我们还假定周期性边界条件。如此假定以后，在梯状晶格的RVB态能量，就可用生成函数来解。这自然需要高度的技巧，否则这二十多年中早就有人解出了。假如RVB态用|Ψ〉表示，其能量就是 E = <Ψ|H|Ψ> / <Ψ|Ψ>。其中H即海森堡能量算符S_i。S_j（对i,j求和）作为生成函数的例子，我这儿只介绍分母的计算，并且尽量用非“物理”的语言介绍。

                梯状晶格的RVB态自己乘自己（即分母），其结构相当简单。如两个粒子在左右边的配对相同，乘积的这一部分数值为1。如果不同，这两个粒子就是一个Loop的一部分，这个Loop上每个粒子的自旋依次上下交替。假定Loop含有2K个粒子其数值为2(1/2)^K，前面的因子2是把所有粒子自旋方向同时翻转所得。如果读者对上面Singlet的代数结构略有了解，很容易证明其他项全为0，也很容易算出上面给出的Loop对应的数值。

                不需要太丰富的想象力，我们就可以发现分母对应于如下的图形。一个个Loop或是紧邻着，或者被成片的Singlet隔开。Loop 可大可小，Singlet的数目亦可多可少，甚至为0，这就是Loop紧邻的情况。一般的数学工具，对此可说是束手无策。我这时刚把我博士后导师所著的一本关于排列组合的专著读了第N遍，决定在此小试牛刀。

                首先算Singlet的生成函数。这儿需要先计算水平（h(x)）和垂直（v(x)）两种情况。因为书写条件限制，我们用Sum(下限, 上限, 通项)来表示求和。

h(x) = Sum(1. ∞, x^2K) = x² / (1 - x²)

v(x) = Sum(1.∞, x^K) = x / (1 - x)

Singlet的生成函数为D(x)，D 取自于矩阵中的对角元（Diagonal）。

D = 1 + (2hv + h + v) * Sum(0. ∞, (hv)^K)

   = 1 / (1 - x - x²)

居然和兔子（Fibonacci）问题的生成函数一模一样。两者的内在联系（Mapping）不复杂，读者可自己练习。这儿四项对应于四种图形。比如2hv，分别是水平（垂直）开始，垂直（水平）结束。

                我们再算Loop的生成函数L (x)。

L(x) = 2*Sum(2. ∞, x^K (1/2)^K-1) = x² / (1 - x/2)

前面的因子2是因为一个Loop可以同时由<α|β>和<β|α>得到。

                现在进行总和成，其中会用到周期性边界条件带来的便利。在我们的梯子上，上面一行是1，3，3，...，2N-1，2N-1和1也是邻居。下面一行是对应的2，4，6，，2N。先考虑所有粒子配对的情况（Diagonal）。如1，2配对，

A₁(x) = x D(x)

如1，2不配对，1和3或2N-1配对，2也类似

A₂(x) = 2x² D(x)

                再考虑不对角的元素，但1，2还是可能对角的，我们先考虑这一部分。如1，2配对，

B₁(x) = xD²L * Sum(0. ∞, (DL)^K)

                = x³D / (1 - 3/2 x - 3/2 x² + 1/2 x³) Ξ x³D(x) / E(x)

这儿的图形意义稍微复杂点。（1，2）的左右都可能有Singlet，所以两边都要放一个D。因为全部对角的情况已被A₁(x)考虑，所以至少要一个L。然后就是D和L成对出现，记着（1，2）左边可能的Singlet已经被求和号外的一个D涵盖了。也可能整个系统只有一个Loop，所以求和从0开始。1，2对角但不配对的情况完全类似，

B₂(x) = 2x⁴D(x) / E(x)

                最后考虑1，2部对角的情况，这时1，2是一个Loop的一部分。对于一个长度为K（2K个粒子）包含1，2的Loop，它可以放置K个不同的位置，所以我们需要计算一个特殊的Loop。

L_s(x) = L(x) = 2*Sum(2. ∞, K x^K (1/2)^K-1) = (2 - x/2)x² / (1 - x/2)²

B₃(x) = D L_s * Sum(0. ∞, (DL)^K) = [(2 - x/2)x²] / [(1 - 2/2) E(x)]

把所有AB加起来，

<Ψ|Ψ> = A₁(x) + A₂(x) B₁(x) + B₂(x) + B₃(x)

                分子<Ψ|H|Ψ>的计算非常类似，但稍微再麻烦一点。最后结果是Anderson = -0.557, Neel = -0.553，Anderson胜。

                这个物理问题，算不上历史难题，但也绝对是硬骨头一块，居然被只涉及高中代数的生成函数给解决了，只是在最后取极限时用到了一点大学的（浅显的）分析知识。一般人刚接触那些经典的生成函数问题，比如100个球放5个筐等，都觉得是杀鸡用牛刀，一怒之下就扔到一边去了。但在这个问题上，生成函数绝对是杀牛用鸡刀了。尽管整个过程要求非常严密的思考，真可谓心细如发，也需要很高的生成函数技巧，但从概念上说，厉害点的高中生只要耐着性子看，是能看懂的。

                这篇论文在1987年的高温超导热浪中，是唯一的一个严格解。我收到了几十份索取复印件的明信片，那时没有PDF，还要拿着厚厚的Physical  Review 使劲压平，真是苦不甚言。Anderson教授没有寄信，但他的合作者，匈牙利著名物理学家Fazekas寄来了明信片。同办公室的同学看到，"Wow, you now have international reputation."

                今年去母校Reunion，导师高兴的告诉我，至少一个很著名的物理学家试图把我的方法延伸到二维正方形晶格，但没有成功。我自己也尝试多次，但都铩羽而归。也有人在梯状晶格做研究，不知道我的论文，结果论文寄出后，Referee告诉他们，早就有人做出了，而且是严格解。