括号:IVAN书里一道题隔板法精彩解答

有多少个5位正整数其各位数字的和（the sum of all digits）为20。

解：

x1+x2+x3+x4+x5=20； 1<=x1<=9, 0<=其他变量<=9；求解的个数。

第一步：求方程x1+x2+x3+x4+x5=20的解的个数。这里，x1>=1，其他变量>=0。

[ x1+(x2+1)+(x3+1)+(x4+1)+(x5+1)=24 ]

用分拆法/插板法(4个插板，23个空隙)得总组合数为C(23,4)

第二步：从上面总组合数中除去万位数x1>=10的解的个数

[ (x1-9)+(x2+1)+(x3+1)+(x4+1)+(x5+1)=15 ]

用分拆法/插板法(4个插板，14个空隙)得总组合数为C(14,4)

 -C(14,4)

第三步：从上面总组合数中除去除万位以上某一其他位上>=10的解的个数

[ x1+(x2-9)+(x3+1)+(x4+1)+(x5+1)=14 ]

用分拆法/插板法(4个插板，13个空隙)得总组合数为C(13,4)

 -4*C(13,4)

第四步：第二步和第三步重复减去了x1=10同时和另外一位上等于10的4种情况
[(x1=10,x2=10),(x1=10,x3=10),(x1=10,x4=10),(x1=10,x5=10)]。所以加4
补偿回来。

最终答案为 C(23,4) - C(14, 4) - 4*C(13,4) + 4 能跟书后答案对上。