括號:IVAN書裡一道題隔板法精彩解答

有多少個5位正整數其各位數字的和（the sum of all digits）為20。

解：

x1+x2+x3+x4+x5=20； 1<=x1<=9, 0<=其他變量<=9；求解的個數。

第一步：求方程x1+x2+x3+x4+x5=20的解的個數。這裡，x1>=1，其他變量>=0。

[ x1+(x2+1)+(x3+1)+(x4+1)+(x5+1)=24 ]

用分拆法/插板法(4個插板，23個空隙)得總組合數為C(23,4)

第二步：從上面總組合數中除去萬位數x1>=10的解的個數

[ (x1-9)+(x2+1)+(x3+1)+(x4+1)+(x5+1)=15 ]

用分拆法/插板法(4個插板，14個空隙)得總組合數為C(14,4)

 -C(14,4)

第三步：從上面總組合數中除去除萬位以上某一其他位上>=10的解的個數

[ x1+(x2-9)+(x3+1)+(x4+1)+(x5+1)=14 ]

用分拆法/插板法(4個插板，13個空隙)得總組合數為C(13,4)

 -4*C(13,4)

第四步：第二步和第三步重複減去了x1=10同時和另外一位上等於10的4種情況
[(x1=10,x2=10),(x1=10,x3=10),(x1=10,x4=10),(x1=10,x5=10)]。所以加4
補償回來。

最終答案為 C(23,4) - C(14, 4) - 4*C(13,4) + 4 能跟書後答案對上。