實數的實在性（by羅傑·彭羅斯）

英國的羅傑·彭羅斯著有一本書《皇帝新腦》，它的副標題是“有關電腦·人腦及物理定律”。此書是相當難讀的。難的一點是：要閱讀該書，需要對數學及物理學眾多知識的把握。還有哲學上的思考。

對該書中的小部分作一評論，都是很難的事情。除非你就是要胡說而已。

那種號稱是人類最高成就的馬列哲學，在俺農民看來，就是人類思維的垃圾。你只要滿腦裝滿了那種垃圾，頓時就失去了人類正常的思維能力。

俺抄來該書的第三章“數學和實在”中的一小節“實數的‘實在性’”。

注意：羅傑·彭羅斯自稱自己是強柏拉圖主義者。

第三章數學和實在

實數的“實在性”

我們先不管可計算性的概念。由於實數似乎提供了測量距離、角度、時間、能量、溫度或者許多其他幾何和物理量的大小，所以被叫作“實”的。然而在抽象定義的“實”數和物理量之間的關係，不像人們所想象的那麼一目了然。實數點被當成數學的理想化，而不是任何實際物理客觀的量。例如，實數系統具有如下物質，在任何兩個實數之間必有另一個實數，而不管該兩數靠得多近。人們根本就不清楚，物理的距離或時間是否現實上具有這一性質。如果我們不斷地對分兩點之間的物理距離，最後就會到達這樣微小的尺度，以至於在通常意義下的距離概念本身不再具有意義。人們預料在次原子粒子的10*20分之一的“量子引力”尺度下①，這的確會發生。但是為了和實數相匹配，我們就必須走到比它小得任意多的尺度：例如10*200分之一，10*2000分之一或10*10200分之一的粒子尺度。人們一點也不清楚，這麼荒謬的微小尺度究竟有什麼物理意義。類似的議論也適用於相應的微小的時間間隔。

　　物理學選用實數系統的原因在於它的數學上的可用、簡單、精巧以及在非常廣大的範圍內和距離似及時間的概念相符合。它之所以被選用並不是因為知道它和這些物理概念在所有的範圍中都一致。人們還可以預料到，在非常微小的距離或時間的尺度下，不存在這樣的一致。人們通常用尺來測量簡單的距離，但這樣的尺在我們追溯到它們自身原子的尺度時，就變得粗糙起來。這一切並不妨礙我們繼續準確地利用實數，但要經過更加精細的處理，才能測量更小的距離。我們至少要有點懷疑，在極小尺度的距離下，也許最終存在有根本原則上的困難。自然對於我們真是恩惠有加，我們從小習慣用於描述日常或更大尺度的事物的同一實數，在尺度比原子小很多，肯定在比“經典”的次原子粒子，譬如電子或質子的經典直徑小百倍的尺度下仍然有用，似乎直到比這粒子小二十個數量級的“量子引力尺度”仍然適用。從經驗得知，這是極不尋常的推論。熟知的實數距離的概念似乎還可外推到最遙遠的類星體以及更遠處，至少給出了至少10*42也許10*60甚至更廣的大範圍。事實上，實數系統的合適性通常是不可置疑的。我們原先和實數相關的經驗主要被限於相對有限的範圍，人們為什麼對實數於物理精密描述的可用性如此信心百倍呢？這種信念――也許是不當的――必須來源於（雖然這個事實經常不被承認）實數系統邏輯的優雅、一致性和數學的威力以及對自然的深刻數學和諧的信仰。