克萊因瓶是一個不可定向的二維緊流形，而球面或輪胎面是可 克萊因瓶 克萊因瓶 定向的二維緊流形。如果觀察克萊因瓶，有一點似乎令人困惑－－克萊因瓶的瓶頸和瓶身是相交的，換句話說，瓶頸上的某些點和瓶壁上的某些點占據了三維空間中的同一個位置。我們可以把克萊因瓶放在四維空間中理解：克萊因瓶是一個在四維空間中才可能真正表現出來的曲面。如果我們一定要把它表現在我們生活的三維空間中，我們只好將就點，把它表現得似乎是自己和自己相交一樣。克萊因瓶的瓶頸是穿過了第四維空間再和瓶底圈連起來的，並不穿過瓶壁。用扭結來打比方，如果把它看作平面上的曲線的話，那麼它似乎自身相交，再一看似乎又斷成了三截。但其實很容易明白，這個圖形其實是三維空間中的曲線。它並不和自己相交，而是連續不斷的一條曲線。在平面上一條曲線自然做不到這樣，但是如果有第三維的話，它就可以穿過第三維來避開和自己相交。只是因為我們要把它畫在二維平面上時，只好將就一點，把它畫成相交或者斷裂了的樣子。克萊因瓶也一樣，我們可以把它理解成處於四維空間中的曲面。在我們這個三維空間中，即使是最高明的能工巧匠，也不得不把它做成自身相交的模樣；就好像最高明的畫家，在紙上畫扭結的時候也不得不把它們畫成自身相交的模樣。有趣的是，如果把克萊因瓶沿着它的對稱線切下去，竟會得到兩個莫比烏斯環。在二維看似穿過自身的繩子 在二維看似穿過自身的繩子 如果莫比烏斯帶能夠完美的展現一個“二維空間中一維可無限擴展之空間模型”的話，克萊因瓶只能作為展現一個“三維空間中二維可無限擴展之空間模型”的參考。因為在製作莫比烏斯帶的過程中，我們要對紙帶進行180°翻轉再首尾相連，這就是一個三維空間下的操作。理想的“三維空間中二維可無限擴展之空間模型”應該是在二維面中，朝任意方向前進都可以回到原點的模型，而克萊因瓶雖然在二維面上可以向任意方向無限前進。但是只有在兩個特定的方向上才會回到原點，並且只有在其中一個方向上，回到原點之前會經過一個“逆向原點”，真正理想的“三維空間中二維可無限擴展之空間模型”也應該是在二維面上朝任何方向前進，都會先經過一次“逆向原點”，再回到原點。而製作這個模型，則需要在四維空間上對三維模型進行扭曲。數學中有一個重要分支叫“拓撲學”，主要是研究幾何圖形連續改變形狀時的一些特徵和規律的，克萊因瓶和莫比烏斯帶變成了拓撲學中最有趣的問題之一。莫比烏斯帶的概念被廣泛地應用到了建築，藝術，工業生產中。三維空間裡的克萊因瓶 拓撲學的定義編輯 克萊因瓶定義為正方形區域 [0,1]×[0,1] 模掉等價關係(0,y)~(1,y), 0≤y≤1 和 (x,0)~(1-x,1), 0≤x≤1。類似於 Mobius Band, 克萊因瓶不可定向。但 Mobius 帶可嵌入   ，而克萊因瓶只能嵌入四維（或更高維）空間。莫比烏斯帶編輯 把一條紙帶的一段扭180°，再和另一端粘起來就得到一條莫比烏斯帶的模型。這也是一個只有莫比烏斯帶、一個面的曲面，但是和球面、輪胎面和克萊因瓶不同的是，它有邊（注意，它只有一條邊）。如果我們把兩條莫比烏斯帶沿着它們唯一的邊粘合起來，你就得到了一個克萊因瓶 莫比烏斯帶 莫比烏斯帶 （當然不要忘了，我們必須在四維空間中才能真正有可能完成這個粘合，否則的話就不得不把紙撕破一點）。同樣地，如果把一個克萊因瓶適當地剪開來，我們就能得到兩條莫比烏斯帶。除了我們上面看到的克萊因瓶的模樣，還有一種不太為人所知的“8字形”克萊因瓶。它看起來和上面的曲面完全不同，但是在四維空間中它們其實就是同一個曲面－－克萊因瓶。實際上，可以說克萊因瓶是一個3°的莫比烏斯帶。我們知道，在平面上畫一個圓，再在圓內放一樣東西，假如在二度空間中將它拿出來，就不得不越過圓周。但在三度空間中，很容易不越過圓周就將其拿出來，放到圓外。將物體的軌跡連同原來的圓投影到二度空間中，就是一個“二維克萊因瓶”，即莫比烏斯帶（這裡的莫比烏斯帶是指拓撲意義上的莫比烏斯帶）。再設想一下，在我們的3°空間中，不可能在不打破蛋殼的前提下從雞蛋中取出蛋黃，但在四度空間裡卻可以。將蛋黃的軌跡連同蛋殼投影在三度空間中，必然可以看到一個克萊因瓶。製造經歷編輯 過去，德國數學家克萊因就曾提出了“不可能”設想，即拓撲學的大怪物－－克萊因瓶。這種瓶子根本沒有內、外之分，無論從什麼地方穿透曲面，到達之處依然在瓶的外面，所以，它本質上就是一個“有外無內”的古怪東西。儘管現代玻璃工業已經發展得非常先進，但是，所謂的“克萊因瓶”卻始終是大數學家克萊因先生腦子裡頭的“虛構物”，根本製造不出來。許多國家的數學家老是想造它一個出來，作為獻給國際數學家大會的禮物。然而，等待他們的是一個失敗接着一個失敗。也有人認為，即使造不出玻璃製品，能造出一個紙模型也不錯。如果真的解決了這個問題，那可是個大收穫！直徑和年齡 最新的研究認為宇宙的直徑可920億光年，甚至更大。[28] 目前可觀測的宇宙年齡大約為138.2億年。[29] 形狀 宇宙微波背景的溫度一端高，暗示呈彎曲狀 宇宙微波背景的溫度一端高，暗示呈彎曲狀 [30] 目前的宇宙理論認為宇宙可能是類似馬鞍狀的負彎曲形狀，該理論源於宇宙大爆炸理論，整個宇宙的外形如同一個吹起的氣球，我們則生活在宇宙的“表面”。[31] 同時，科學家也認為宇宙是平坦的，根據美國宇航局的調查，宇宙可能是平坦的，2013年的調查發現如果宇宙是平坦的，那麼誤差只有0.4%。[32] 斯蒂芬·霍金表示，我們宇宙的形狀可能是一種難以置信的幾何圖形，更接近於超現實主義的藝術，如同荷蘭藝術家摩里茨·科奈里斯·埃舍爾創 銀河系 銀河系 [33] 作的圖形一樣。霍金的想法以弦理論為依據，而該理論目前仍然還處於假設之中，並未被驗證。如果用語言來形容宇宙的形狀，應該是整體呈現多重鑲嵌模式，具有無限重複出現的扭曲面，曲面間環環相扣，如同科奈里斯·埃舍爾創作的“圓形極限IV”圖案，也與美國工程師P.H. Smith創作的“史密斯圓圖”類似，體現出雙曲空間的概念，是一種非歐幾何的空間形態。[34] 層次結構 當代天文學研究成果表明，宇宙是有層次結構的、 即將發生碰撞的兩個星系NGC 470和NGC 474 即將發生碰撞的兩個星系NGC 470和NGC 474 [35] 不斷膨脹、物質形態多樣的、不斷運動發展的天體系統。行星、小行星、彗星和流星體都圍繞中心天體太陽運轉，構成太陽系。太陽系外也存在其他行星系統。約2500億顆類似太陽的恆星和星際物質構成更巨大的天體系統——銀河系。銀河系的直徑約10萬光年，太陽位於銀河系的一個旋臂中，距銀心約2.6萬光年。銀河系外還有許多類似的天體系統，稱為河外星系，常簡稱星系。目前觀測到1000億個星系，科學家估計宇宙中至少有2萬億個星系。星系聚集成大大小小的集團，叫星系團。平均而言，每個星系團約有百餘個星系，直徑達上千萬光年。現已發現上萬個星系團。包括銀河系在內約40個星系構成的一個小星系團叫本星系群。橢圓星系Hercules A中心超大黑洞引發的噴流 橢圓星系Hercules A中心超大黑洞引發的噴流 [36] 若干星系團集聚在一起構成的更高一層次的天體系統叫超星系團。超星系團往往具有扁長的外形，其長徑可達數億光年。通常超星系團內只含有幾個星系團，只有少數超星系團擁有幾十個星系團。本星系群和其附近的約50個星系團構成的超星系團叫做本超星系團。星系分類 根據可反映星系發展狀態的序列號對星系進行了分類，可以粗略地將星系劃分出橢圓星系、透鏡星系、漩渦星系、棒旋星系和不規則星系等五種。[37] 太陽系天體 太陽質量占太陽系總質量的99.86%，它以自己強大的引力將 NASA公布的太陽風暴的照片 NASA公布的太陽風暴的照片 [38] 太陽系裡的所有天體牢牢地吸引在它的周圍，使它們不離不散、井然有序地繞自己旋轉。同時，太陽又作為一顆普通恆星，帶領它的成員，萬古不息地繞銀河系的中心運動。[39]  太陽的半徑為696000千米，質量為1.989×10^30kg，中心溫度約15000000 ℃，。[40]  如果一個人站在太陽表面，那麼他的體重將會是在地球上的20倍。[41]  現代星雲假說根據觀測資料和理論計算，提出：太陽系原始星雲是巨大的星際雲瓦解的一個小雲，一開始就在自轉，並在自身引力作用下收縮，中心部分形成太陽，外部演化成星雲盤，星雲盤以後形成行星。目前，現代星雲說又存在不同學派，這些學派之間還存在着許多差別，有待進一步研究和證實。[42] 金星是離太陽的第二顆行星，夜空中亮度僅次於月球。[43]  金星上沒有水，大氣中嚴重缺氧，二氧化碳占97%以上，空氣中有一層厚達20千米至30千米的濃硫酸雲，地面溫度從不低於400℃，是個名副其實的“煉獄”般世界。金星地面的大氣壓強為地球的90倍，相當於地球海洋中900米深度時的壓強。金星大氣主要由二氧化碳等溫室氣體組成，失控的溫室效應，是導致金星極端氣候的主要原因。由於金星沒有內稟磁層保護，誘發磁層中磁場重聯釋放的巨大能量，使得金星大氣被加熱後加速逃逸。科學界認為，金星上大氣的逃逸，是造成金星上缺水而被富含二氧化碳的稠密大氣所籠罩，從而導致嚴重的溫室效應的原因。[44] 木星是離太陽第五顆行星，而且是最大的一顆，比所有其他的行星 木星及其衛星歐羅巴（木衛二） 木星及其衛星歐羅巴（木衛二） [45] 的合質量大2倍（地球的318倍），直徑142987km。它是氣態行星沒有實體表面，由90%的氫和10%的氦（原子數之比, 75/25%的質量比）及微量的甲烷、水、氨水和“石頭”組成。這與形成整個太陽系的原始的太陽系星雲的組成十分相似。木星可能有一個石質的內核，相當於10－15個地球的質量。內核上則是大部分的行星物質集結地，以液態氫的形式存在。液態金屬氫由離子化的質子與電子組成（類似於太陽的內部，不過溫度低多了）。木星共有67顆木衛。按距離木星中心由近及遠的次序為：木衛十六、木衛十四、木衛五、木衛十五、木衛一、木衛二、木衛三、木衛四、木衛十三、木衛六、木衛十、木衛七、木衛十二、木衛十一、木衛八和木衛九。[46] 水星是最接近太陽的行星。水星的半徑約為2440公里，在八大行星中是最小的。水星晝夜溫差極大，白天攝氏 430 度，晚上約可達零下170 度，是太陽系八大行星中溫差最大的一個行星。[47]  水星的外大氣層非常稀薄，是由水星表面和太陽風中的原子和離子構成。[48]  科學家確認水星表面含有豐富的碳，認為碳是水星表面呈黑色的原因，水星表面的岩石是由低重量百分比的石墨碳構成。[49] “好奇號”火星探測器在火星表面採集樣本 “好奇號”火星探測器在火星表面採集樣本 [50] 火星是地球的近鄰，是太陽系由內往外數第四顆行星。直徑6794km，體積為地球的15%，質量為地球的11%。火星表面是一個荒涼的世界，空氣中二氧化碳占了95%。火星大氣十分稀薄，密度還不到地球大氣的1%，因而根本無法保存熱量。這導致火星表面溫度極低，很少超過0℃，在夜晚，最低溫度則可達到-123℃。火星被稱為紅色的行星，這是因為它表面布滿了氧化物，因而呈現出鐵鏽紅色。其表面的大部分地區都是含有大量的紅色氧化物的大沙漠，還有赭色的礫石地和凝固的熔岩流。火星上常常有猛烈的大風，大風揚起沙塵能形成可以覆蓋火星全球的特大型沙塵暴。每次沙塵暴可持續數個星期。火星兩極的冰冠和火星大氣中含有水份。從火星表面獲得的探測數據證明，在遠古時期，火星曾經有過液態的水，而且水量特別大。[51] 土星是離太陽第六顆行星，直徑120536㎞，體積僅次於木星。主要由氫組成，還有少量的氦與微量元素，內部的核心包括岩石和冰，外圍由數層金屬氫和氣體包裹着。地球距離土星13億公里。土星的引力比地球強2.5倍，能夠牽引太陽系內其它行星，使地球處於一個橢圓軌道中運行，並且與太陽保持適當距離，適宜生命繁衍。當土星軌道傾斜20度將使地球軌道比金星軌道更接近太陽，同時，這將導致火星完全離開太陽系。[52]  土星是已知唯一密度小於水的行星，假如能夠將土星放入一個巨大的浴池之中，它將可以漂浮起來。土星有一個巨大的磁氣圈和一個狂風肆虐的大氣層，赤道附近的風速可達1800千米/時。在環繞土星運行的31顆衛星中間，土衛六是最大的一顆，比水星和月球還大，也是太陽系中唯一擁有濃厚大氣層的衛星。[53] 天王星是離太陽第七顆行星，51118km。體積約為地球的65倍，在九大行星中僅次於木星和土星。天王星的大氣層中83%是氫，15%為氦，2%為甲烷以及少量的乙炔和碳氫化合物。上層大氣層的甲烷吸收紅光，使天王星呈現藍綠色。大氣在固定緯度集結成雲層，類似於木星和土星在緯線上鮮艷的條狀色帶。天王星雲層的平均溫度為零下193攝氏度。質量為8.6810±13×102⁵kg，相當於地球質量的14.63倍。密度較小，只有1.24克/立方厘米，為海王星密度值的74.7%。[54] 恆星 恆星 海王星是離太陽的第八顆行星，直徑49532千米。海王星繞太陽運轉的軌道半徑為45億千米，公轉一周需要165年。海王星的直徑和天王星類似，質量比天王星略大一些。海王星和天王星的主要大氣成分都是氫和氦，內部結構也極為相近，所以說海王星與天王星是一對孿生兄弟。[55]  海王星有太陽系最強烈的風，測量到的時速高達2100公里。海王星雲頂的溫度是－218 °C，是太陽系最冷的地區之一。海王星核心的溫度約為7000 °C，可以和太陽的表面比較。海王星在1846年9月23日被發現，是唯一利用數學預測而非有計劃的觀測發現的行星。[56] 冥王星，位於海王星以外的柯伊伯帶內側，是柯伊伯帶中已知的最大天體。[57]  直徑約為2370±20km，是地球直徑的18.5%。[58] 2006年8月24日，國際天文學聯合會大會24日投票決定，不再將傳統九大行星之一的冥王星視為行星，而將其列入“矮行星”。大會通過的決議規定，“行星”指的是圍繞太陽運轉、自身引力足以克服其剛體力而使天體呈圓球狀、能夠清除其軌道附近其他物體的天體。在太陽系傳統的“九大行星”中，只有水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王星和海王星符合這些要求。冥王星由於其軌道與海王星的軌道相交，不符合新的行星定義，因此被自動降級為“矮行星”。[59]  冥王星的表面溫度大概在-238到-228℃之間。冥王星的成份由70%岩石和30%冰水混合而成的。地表上光亮的部分可能覆蓋着一些固體氮以及少量 衛星拍月球經過地球，可見清晰月球背面 衛星拍月球經過地球，可見清晰月球背面 [60] 的固體甲烷和一氧化碳，冥王星表面的黑暗部分可能是一些基本的有機物質或是由宇宙射線引發的光化學反應。冥王星的大氣層主要由氮和少量的一氧化碳及甲烷組成。大氣極其稀薄，地面壓強只有少量微帕。[61] 地球是離太陽第三顆行星，是我們人類的家鄉，儘管地球是太陽系中一顆普通的行星，但它在許多方面都是獨一無二的。比如，它是太陽系中唯一一顆面積大部分被水覆蓋的行星，也是目前所知唯一一顆有生命存在的星球。質量M=5.9742 ×10^24 公斤，表面溫度：t = - 30 ～ +45。[62]  英國科研人員在《天體生物學》雜誌上報告說，如果沒有小行星撞擊等可能劇烈改變環境的事件發生，地球適宜人類居住的時間還剩約17.5億年，不過人為造成的氣候變化可能縮短這一時間。[63] 彗星是由灰塵和冰塊組成的太陽系中的一類小天體，繞日運動。[64]  科學家使用探測器對彗星的化學遺留物進行分析，發現其主要成份為氨、甲烷、硫化氫、氰化氫和甲醛。科學家得出結論稱，彗星的氣味聞起來像是臭雞蛋、馬尿、酒精和苦杏仁的氣味綜合。[65-66] “67P/楚留莫夫-格拉希門克”彗星 “67P/楚留莫夫-格拉希門克”彗星 [67] 在太陽系的周圍還包裹着一個龐大的“奧爾特雲”。星雲內分布着不計其數的冰塊、雪團和碎石。其中的某些會受太陽引力影響飛入內太陽系，這就是彗星。這些冰塊、雪團和碎石進入太陽系內部，其表面因受太陽風的吹拂而開始揮發。所以彗星都拖着一條長長的尾巴，而且越靠近太陽尾巴越長、越明顯。太陽系內的星際空間並不是真空的，而是充滿了各種粒子、射線、氣體和塵埃。[68] 柯伊伯帶，是一種理論推測認為短周期彗星是來自離太陽50—500天文單位的一個環帶，位於太陽系的盡頭。柯伊伯帶是冰質殘片組成的巨環，位於海王星軌道之外，環繞着太陽系的外邊緣。[69] 物質多樣性 紅巨星，當一顆恆星度過它漫長的青壯年期——主序星階段，步入老年期時，它將首先變為一顆紅巨星。稱它為“巨星”，是突出它的體積巨大。在巨星階段，恆星的體積將膨脹到十億倍之多。稱它為“紅”巨星，是因為在這恆星迅速膨脹的同時，它的外表面離中心越來越遠，所以溫度將隨之而降低，發出的光也就越來越偏紅。不過，雖然溫度降低了一些，可紅巨星的體積是如此之大，它的光度也變得很大，極為明亮。紅巨星一旦形成，就朝恆星的下一階段白矮星進發。[70] 白矮星，是一種低光度、高密度、高溫度的恆星。因為顏色呈白色、體積比較矮小，因此被命名為白矮星。哈勃望遠鏡觀測到白矮星死亡過程 哈勃望遠鏡觀測到白矮星死亡過程 [71] 白矮星是一種很特殊的天體，它的體積小、亮度低，但質量大、密度極高。白矮星是中低質量的恆星的演化路線的終點。在紅巨星階段的末期，恆星的中心會因為溫度、壓力不足或者核聚變達到鐵階段而停止產生能量。恆星外殼的重力會壓縮恆星產生一個高密度的天體。一個典型的穩定獨立白矮星具有大約半個太陽質量，比地球略大。這種密度僅次於中子星和夸剋星。如果白矮星的質量超過1.4倍太陽質量，那麼原子核之間的電荷斥力不足以對抗重力，電子會被壓入原子核而形成中子星。原子是由原子核和電子組成的，原子的質量絕大部分集中在原子核上，在巨大的壓力之下，電子將脫離原子核，成自由電子。這種自由電子氣體將儘可能地占據原子核之間的空隙，從而使單位空間內包含的物質也將大大增多，密度大大提高了。形象地說，這時原子核是“沉浸於”電子中，常稱之為“簡併態”。[72]  大多數的恆星內核通過氫核聚變進行燃燒，將質量轉變為能量，並產生光和熱量，當恆星內部氫燃料完成消耗完後就開始進行氦融合反應，並形成更重的碳和氧，這一過程對於類似太陽這樣的恆星而言，就顯得較為短暫，並形成碳氧組成的白矮星，如果其質量大於1.4倍太陽質量，就會發生Ia型超新星爆發。[73] 類星體,20世紀60年代以來，天文學家還找到一種在銀河系以外像恆星一樣表現為一個光點的天體，但實際上它的光度和質量又和星系一樣，我們叫它類星體，現在已發現了數千個這種天體。[74] 超新星，是恆星演化過程中的一個階段。超新星爆發是某些恆星在演化接近末期時經歷的一種劇烈爆炸。一般認為質量小於9倍太陽質量左右的恆星，在經歷引力坍縮的過程後是無法形成超新星的。[75]  在大質量恆星演化到晚期，內部不能產生新的能量，巨大的引力將整個星體迅速向中心坍縮，將中心物質都壓成中子狀態，形成中子星，而外層下坍的物質遇到這堅硬的“中子核”反彈引起爆炸。這就成為超新星爆發，質量更大時，中心更可形成黑洞。[76]  在超新星爆發的過程中所釋放的能量，需要我們的太陽燃燒900億年才能與之相當。[77]  超新星研究有着關乎人類自身命運的深層意義。如果一顆超新星爆發的位置非常接近地球，目前國際天文學界普遍認為此距離在100光年以內，它就能夠對地球的生物圈產生明顯的影響，這樣的超新星被稱為近地超新星。有研究認為，在地球歷史上的奧陶紀大滅絕，就是一顆近地超新星引起的，這次滅絕導致當時地球近60%的海洋生物消失。[78]

克萊因瓶是一個不可定向的二維緊流形，而球面或輪胎面是

克萊因瓶是一個不可定向的二維緊流形，而球面或輪胎面是可 克萊因瓶 克萊因瓶 定向的二維緊流形。如果觀察克萊因瓶，有一點似乎令人困惑－－克萊因瓶的瓶頸和瓶身是相交的，換句話說，瓶頸上的某些點和瓶壁上的某些點占據了三維空間中的同一個位置。我們可以把克萊因瓶放在四維空間中理解：克萊因瓶是一個在四維空間中才可能真正表現出來的曲面。如果我們一定要把它表現在我們生活的三維空間中，我們只好將就點，把它表現得似乎是自己和自己相交一樣。克萊因瓶的瓶頸是穿過了第四維空間再和瓶底圈連起來的，並不穿過瓶壁。用扭結來打比方，如果把它看作平面上的曲線的話，那麼它似乎自身相交，再一看似乎又斷成了三截。但其實很容易明白，這個圖形其實是三維空間中的曲線。它並不和自己相交，而是連續不斷的一條曲線。在平面上一條曲線自然做不到這樣，但是如果有第三維的話，它就可以穿過第三維來避開和自己相交。只是因為我們要把它畫在二維平面上時，只好將就一點，把它畫成相交或者斷裂了的樣子。克萊因瓶也一樣，我們可以把它理解成處於四維空間中的曲面。在我們這個三維空間中，即使是最高明的能工巧匠，也不得不把它做成自身相交的模樣；就好像最高明的畫家，在紙上畫扭結的時候也不得不把它們畫成自身相交的模樣。有趣的是，如果把克萊因瓶沿着它的對稱線切下去，竟會得到兩個莫比烏斯環。在二維看似穿過自身的繩子 在二維看似穿過自身的繩子 如果莫比烏斯帶能夠完美的展現一個“二維空間中一維可無限擴展之空間模型”的話，克萊因瓶只能作為展現一個“三維空間中二維可無限擴展之空間模型”的參考。因為在製作莫比烏斯帶的過程中，我們要對紙帶進行180°翻轉再首尾相連，這就是一個三維空間下的操作。理想的“三維空間中二維可無限擴展之空間模型”應該是在二維面中，朝任意方向前進都可以回到原點的模型，而克萊因瓶雖然在二維面上可以向任意方向無限前進。但是只有在兩個特定的方向上才會回到原點，並且只有在其中一個方向上，回到原點之前會經過一個“逆向原點”，真正理想的“三維空間中二維可無限擴展之空間模型”也應該是在二維面上朝任何方向前進，都會先經過一次“逆向原點”，再回到原點。而製作這個模型，則需要在四維空間上對三維模型進行扭曲。數學中有一個重要分支叫“拓撲學”，主要是研究幾何圖形連續改變形狀時的一些特徵和規律的，克萊因瓶和莫比烏斯帶變成了拓撲學中最有趣的問題之一。莫比烏斯帶的概念被廣泛地應用到了建築，藝術，工業生產中。三維空間裡的克萊因瓶 拓撲學的定義編輯 克萊因瓶定義為正方形區域 [0,1]×[0,1] 模掉等價關係(0,y)~(1,y), 0≤y≤1 和 (x,0)~(1-x,1), 0≤x≤1。類似於 Mobius Band, 克萊因瓶不可定向。但 Mobius 帶可嵌入   ，而克萊因瓶只能嵌入四維（或更高維）空間。莫比烏斯帶編輯 把一條紙帶的一段扭180°，再和另一端粘起來就得到一條莫比烏斯帶的模型。這也是一個只有莫比烏斯帶、一個面的曲面，但是和球面、輪胎面和克萊因瓶不同的是，它有邊（注意，它只有一條邊）。如果我們把兩條莫比烏斯帶沿着它們唯一的邊粘合起來，你就得到了一個克萊因瓶 莫比烏斯帶 莫比烏斯帶 （當然不要忘了，我們必須在四維空間中才能真正有可能完成這個粘合，否則的話就不得不把紙撕破一點）。同樣地，如果把一個克萊因瓶適當地剪開來，我們就能得到兩條莫比烏斯帶。除了我們上面看到的克萊因瓶的模樣，還有一種不太為人所知的“8字形”克萊因瓶。它看起來和上面的曲面完全不同，但是在四維空間中它們其實就是同一個曲面－－克萊因瓶。實際上，可以說克萊因瓶是一個3°的莫比烏斯帶。我們知道，在平面上畫一個圓，再在圓內放一樣東西，假如在二度空間中將它拿出來，就不得不越過圓周。但在三度空間中，很容易不越過圓周就將其拿出來，放到圓外。將物體的軌跡連同原來的圓投影到二度空間中，就是一個“二維克萊因瓶”，即莫比烏斯帶（這裡的莫比烏斯帶是指拓撲意義上的莫比烏斯帶）。再設想一下，在我們的3°空間中，不可能在不打破蛋殼的前提下從雞蛋中取出蛋黃，但在四度空間裡卻可以。將蛋黃的軌跡連同蛋殼投影在三度空間中，必然可以看到一個克萊因瓶。製造經歷編輯 過去，德國數學家克萊因就曾提出了“不可能”設想，即拓撲學的大怪物－－克萊因瓶。這種瓶子根本沒有內、外之分，無論從什麼地方穿透曲面，到達之處依然在瓶的外面，所以，它本質上就是一個“有外無內”的古怪東西。儘管現代玻璃工業已經發展得非常先進，但是，所謂的“克萊因瓶”卻始終是大數學家克萊因先生腦子裡頭的“虛構物”，根本製造不出來。許多國家的數學家老是想造它一個出來，作為獻給國際數學家大會的禮物。然而，等待他們的是一個失敗接着一個失敗。也有人認為，即使造不出玻璃製品，能造出一個紙模型也不錯。如果真的解決了這個問題，那可是個大收穫！直徑和年齡 最新的研究認為宇宙的直徑可920億光年，甚至更大。[28] 目前可觀測的宇宙年齡大約為138.2億年。[29] 形狀 宇宙微波背景的溫度一端高，暗示呈彎曲狀 宇宙微波背景的溫度一端高，暗示呈彎曲狀 [30] 目前的宇宙理論認為宇宙可能是類似馬鞍狀的負彎曲形狀，該理論源於宇宙大爆炸理論，整個宇宙的外形如同一個吹起的氣球，我們則生活在宇宙的“表面”。[31] 同時，科學家也認為宇宙是平坦的，根據美國宇航局的調查，宇宙可能是平坦的，2013年的調查發現如果宇宙是平坦的，那麼誤差只有0.4%。[32] 斯蒂芬·霍金表示，我們宇宙的形狀可能是一種難以置信的幾何圖形，更接近於超現實主義的藝術，如同荷蘭藝術家摩里茨·科奈里斯·埃舍爾創 銀河系 銀河系 [33] 作的圖形一樣。霍金的想法以弦理論為依據，而該理論目前仍然還處於假設之中，並未被驗證。如果用語言來形容宇宙的形狀，應該是整體呈現多重鑲嵌模式，具有無限重複出現的扭曲面，曲面間環環相扣，如同科奈里斯·埃舍爾創作的“圓形極限IV”圖案，也與美國工程師P.H. Smith創作的“史密斯圓圖”類似，體現出雙曲空間的概念，是一種非歐幾何的空間形態。[34] 層次結構 當代天文學研究成果表明，宇宙是有層次結構的、 即將發生碰撞的兩個星系NGC 470和NGC 474 即將發生碰撞的兩個星系NGC 470和NGC 474 [35] 不斷膨脹、物質形態多樣的、不斷運動發展的天體系統。行星、小行星、彗星和流星體都圍繞中心天體太陽運轉，構成太陽系。太陽系外也存在其他行星系統。約2500億顆類似太陽的恆星和星際物質構成更巨大的天體系統——銀河系。銀河系的直徑約10萬光年，太陽位於銀河系的一個旋臂中，距銀心約2.6萬光年。銀河系外還有許多類似的天體系統，稱為河外星系，常簡稱星系。目前觀測到1000億個星系，科學家估計宇宙中至少有2萬億個星系。星系聚集成大大小小的集團，叫星系團。平均而言，每個星系團約有百餘個星系，直徑達上千萬光年。現已發現上萬個星系團。包括銀河系在內約40個星系構成的一個小星系團叫本星系群。橢圓星系Hercules A中心超大黑洞引發的噴流 橢圓星系Hercules A中心超大黑洞引發的噴流 [36] 若干星系團集聚在一起構成的更高一層次的天體系統叫超星系團。超星系團往往具有扁長的外形，其長徑可達數億光年。通常超星系團內只含有幾個星系團，只有少數超星系團擁有幾十個星系團。本星系群和其附近的約50個星系團構成的超星系團叫做本超星系團。星系分類 根據可反映星系發展狀態的序列號對星系進行了分類，可以粗略地將星系劃分出橢圓星系、透鏡星系、漩渦星系、棒旋星系和不規則星系等五種。[37] 太陽系天體 太陽質量占太陽系總質量的99.86%，它以自己強大的引力將 NASA公布的太陽風暴的照片 NASA公布的太陽風暴的照片 [38] 太陽系裡的所有天體牢牢地吸引在它的周圍，使它們不離不散、井然有序地繞自己旋轉。同時，太陽又作為一顆普通恆星，帶領它的成員，萬古不息地繞銀河系的中心運動。[39]  太陽的半徑為696000千米，質量為1.989×10^30kg，中心溫度約15000000 ℃，。[40]  如果一個人站在太陽表面，那麼他的體重將會是在地球上的20倍。[41]  現代星雲假說根據觀測資料和理論計算，提出：太陽系原始星雲是巨大的星際雲瓦解的一個小雲，一開始就在自轉，並在自身引力作用下收縮，中心部分形成太陽，外部演化成星雲盤，星雲盤以後形成行星。目前，現代星雲說又存在不同學派，這些學派之間還存在着許多差別，有待進一步研究和證實。[42] 金星是離太陽的第二顆行星，夜空中亮度僅次於月球。[43]  金星上沒有水，大氣中嚴重缺氧，二氧化碳占97%以上，空氣中有一層厚達20千米至30千米的濃硫酸雲，地面溫度從不低於400℃，是個名副其實的“煉獄”般世界。金星地面的大氣壓強為地球的90倍，相當於地球海洋中900米深度時的壓強。金星大氣主要由二氧化碳等溫室氣體組成，失控的溫室效應，是導致金星極端氣候的主要原因。由於金星沒有內稟磁層保護，誘發磁層中磁場重聯釋放的巨大能量，使得金星大氣被加熱後加速逃逸。科學界認為，金星上大氣的逃逸，是造成金星上缺水而被富含二氧化碳的稠密大氣所籠罩，從而導致嚴重的溫室效應的原因。[44] 木星是離太陽第五顆行星，而且是最大的一顆，比所有其他的行星 木星及其衛星歐羅巴（木衛二） 木星及其衛星歐羅巴（木衛二） [45] 的合質量大2倍（地球的318倍），直徑142987km。它是氣態行星沒有實體表面，由90%的氫和10%的氦（原子數之比, 75/25%的質量比）及微量的甲烷、水、氨水和“石頭”組成。這與形成整個太陽系的原始的太陽系星雲的組成十分相似。木星可能有一個石質的內核，相當於10－15個地球的質量。內核上則是大部分的行星物質集結地，以液態氫的形式存在。液態金屬氫由離子化的質子與電子組成（類似於太陽的內部，不過溫度低多了）。木星共有67顆木衛。按距離木星中心由近及遠的次序為：木衛十六、木衛十四、木衛五、木衛十五、木衛一、木衛二、木衛三、木衛四、木衛十三、木衛六、木衛十、木衛七、木衛十二、木衛十一、木衛八和木衛九。[46] 水星是最接近太陽的行星。水星的半徑約為2440公里，在八大行星中是最小的。水星晝夜溫差極大，白天攝氏 430 度，晚上約可達零下170 度，是太陽系八大行星中溫差最大的一個行星。[47]  水星的外大氣層非常稀薄，是由水星表面和太陽風中的原子和離子構成。[48]  科學家確認水星表面含有豐富的碳，認為碳是水星表面呈黑色的原因，水星表面的岩石是由低重量百分比的石墨碳構成。[49] “好奇號”火星探測器在火星表面採集樣本 “好奇號”火星探測器在火星表面採集樣本 [50] 火星是地球的近鄰，是太陽系由內往外數第四顆行星。直徑6794km，體積為地球的15%，質量為地球的11%。火星表面是一個荒涼的世界，空氣中二氧化碳占了95%。火星大氣十分稀薄，密度還不到地球大氣的1%，因而根本無法保存熱量。這導致火星表面溫度極低，很少超過0℃，在夜晚，最低溫度則可達到-123℃。火星被稱為紅色的行星，這是因為它表面布滿了氧化物，因而呈現出鐵鏽紅色。其表面的大部分地區都是含有大量的紅色氧化物的大沙漠，還有赭色的礫石地和凝固的熔岩流。火星上常常有猛烈的大風，大風揚起沙塵能形成可以覆蓋火星全球的特大型沙塵暴。每次沙塵暴可持續數個星期。火星兩極的冰冠和火星大氣中含有水份。從火星表面獲得的探測數據證明，在遠古時期，火星曾經有過液態的水，而且水量特別大。[51] 土星是離太陽第六顆行星，直徑120536㎞，體積僅次於木星。主要由氫組成，還有少量的氦與微量元素，內部的核心包括岩石和冰，外圍由數層金屬氫和氣體包裹着。地球距離土星13億公里。土星的引力比地球強2.5倍，能夠牽引太陽系內其它行星，使地球處於一個橢圓軌道中運行，並且與太陽保持適當距離，適宜生命繁衍。當土星軌道傾斜20度將使地球軌道比金星軌道更接近太陽，同時，這將導致火星完全離開太陽系。[52]  土星是已知唯一密度小於水的行星，假如能夠將土星放入一個巨大的浴池之中，它將可以漂浮起來。土星有一個巨大的磁氣圈和一個狂風肆虐的大氣層，赤道附近的風速可達1800千米/時。在環繞土星運行的31顆衛星中間，土衛六是最大的一顆，比水星和月球還大，也是太陽系中唯一擁有濃厚大氣層的衛星。[53] 天王星是離太陽第七顆行星，51118km。體積約為地球的65倍，在九大行星中僅次於木星和土星。天王星的大氣層中83%是氫，15%為氦，2%為甲烷以及少量的乙炔和碳氫化合物。上層大氣層的甲烷吸收紅光，使天王星呈現藍綠色。大氣在固定緯度集結成雲層，類似於木星和土星在緯線上鮮艷的條狀色帶。天王星雲層的平均溫度為零下193攝氏度。質量為8.6810±13×102⁵kg，相當於地球質量的14.63倍。密度較小，只有1.24克/立方厘米，為海王星密度值的74.7%。[54] 恆星 恆星 海王星是離太陽的第八顆行星，直徑49532千米。海王星繞太陽運轉的軌道半徑為45億千米，公轉一周需要165年。海王星的直徑和天王星類似，質量比天王星略大一些。海王星和天王星的主要大氣成分都是氫和氦，內部結構也極為相近，所以說海王星與天王星是一對孿生兄弟。[55]  海王星有太陽系最強烈的風，測量到的時速高達2100公里。海王星雲頂的溫度是－218 °C，是太陽系最冷的地區之一。海王星核心的溫度約為7000 °C，可以和太陽的表面比較。海王星在1846年9月23日被發現，是唯一利用數學預測而非有計劃的觀測發現的行星。[56] 冥王星，位於海王星以外的柯伊伯帶內側，是柯伊伯帶中已知的最大天體。[57]  直徑約為2370±20km，是地球直徑的18.5%。[58] 2006年8月24日，國際天文學聯合會大會24日投票決定，不再將傳統九大行星之一的冥王星視為行星，而將其列入“矮行星”。大會通過的決議規定，“行星”指的是圍繞太陽運轉、自身引力足以克服其剛體力而使天體呈圓球狀、能夠清除其軌道附近其他物體的天體。在太陽系傳統的“九大行星”中，只有水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王星和海王星符合這些要求。冥王星由於其軌道與海王星的軌道相交，不符合新的行星定義，因此被自動降級為“矮行星”。[59]  冥王星的表面溫度大概在-238到-228℃之間。冥王星的成份由70%岩石和30%冰水混合而成的。地表上光亮的部分可能覆蓋着一些固體氮以及少量 衛星拍月球經過地球，可見清晰月球背面 衛星拍月球經過地球，可見清晰月球背面 [60] 的固體甲烷和一氧化碳，冥王星表面的黑暗部分可能是一些基本的有機物質或是由宇宙射線引發的光化學反應。冥王星的大氣層主要由氮和少量的一氧化碳及甲烷組成。大氣極其稀薄，地面壓強只有少量微帕。[61] 地球是離太陽第三顆行星，是我們人類的家鄉，儘管地球是太陽系中一顆普通的行星，但它在許多方面都是獨一無二的。比如，它是太陽系中唯一一顆面積大部分被水覆蓋的行星，也是目前所知唯一一顆有生命存在的星球。質量M=5.9742 ×10^24 公斤，表面溫度：t = - 30 ～ +45。[62]  英國科研人員在《天體生物學》雜誌上報告說，如果沒有小行星撞擊等可能劇烈改變環境的事件發生，地球適宜人類居住的時間還剩約17.5億年，不過人為造成的氣候變化可能縮短這一時間。[63] 彗星是由灰塵和冰塊組成的太陽系中的一類小天體，繞日運動。[64]  科學家使用探測器對彗星的化學遺留物進行分析，發現其主要成份為氨、甲烷、硫化氫、氰化氫和甲醛。科學家得出結論稱，彗星的氣味聞起來像是臭雞蛋、馬尿、酒精和苦杏仁的氣味綜合。[65-66] “67P/楚留莫夫-格拉希門克”彗星 “67P/楚留莫夫-格拉希門克”彗星 [67] 在太陽系的周圍還包裹着一個龐大的“奧爾特雲”。星雲內分布着不計其數的冰塊、雪團和碎石。其中的某些會受太陽引力影響飛入內太陽系，這就是彗星。這些冰塊、雪團和碎石進入太陽系內部，其表面因受太陽風的吹拂而開始揮發。所以彗星都拖着一條長長的尾巴，而且越靠近太陽尾巴越長、越明顯。太陽系內的星際空間並不是真空的，而是充滿了各種粒子、射線、氣體和塵埃。[68] 柯伊伯帶，是一種理論推測認為短周期彗星是來自離太陽50—500天文單位的一個環帶，位於太陽系的盡頭。柯伊伯帶是冰質殘片組成的巨環，位於海王星軌道之外，環繞着太陽系的外邊緣。[69] 物質多樣性 紅巨星，當一顆恆星度過它漫長的青壯年期——主序星階段，步入老年期時，它將首先變為一顆紅巨星。稱它為“巨星”，是突出它的體積巨大。在巨星階段，恆星的體積將膨脹到十億倍之多。稱它為“紅”巨星，是因為在這恆星迅速膨脹的同時，它的外表面離中心越來越遠，所以溫度將隨之而降低，發出的光也就越來越偏紅。不過，雖然溫度降低了一些，可紅巨星的體積是如此之大，它的光度也變得很大，極為明亮。紅巨星一旦形成，就朝恆星的下一階段白矮星進發。[70] 白矮星，是一種低光度、高密度、高溫度的恆星。因為顏色呈白色、體積比較矮小，因此被命名為白矮星。哈勃望遠鏡觀測到白矮星死亡過程 哈勃望遠鏡觀測到白矮星死亡過程 [71] 白矮星是一種很特殊的天體，它的體積小、亮度低，但質量大、密度極高。白矮星是中低質量的恆星的演化路線的終點。在紅巨星階段的末期，恆星的中心會因為溫度、壓力不足或者核聚變達到鐵階段而停止產生能量。恆星外殼的重力會壓縮恆星產生一個高密度的天體。一個典型的穩定獨立白矮星具有大約半個太陽質量，比地球略大。這種密度僅次於中子星和夸剋星。如果白矮星的質量超過1.4倍太陽質量，那麼原子核之間的電荷斥力不足以對抗重力，電子會被壓入原子核而形成中子星。原子是由原子核和電子組成的，原子的質量絕大部分集中在原子核上，在巨大的壓力之下，電子將脫離原子核，成自由電子。這種自由電子氣體將儘可能地占據原子核之間的空隙，從而使單位空間內包含的物質也將大大增多，密度大大提高了。形象地說，這時原子核是“沉浸於”電子中，常稱之為“簡併態”。[72]  大多數的恆星內核通過氫核聚變進行燃燒，將質量轉變為能量，並產生光和熱量，當恆星內部氫燃料完成消耗完後就開始進行氦融合反應，並形成更重的碳和氧，這一過程對於類似太陽這樣的恆星而言，就顯得較為短暫，並形成碳氧組成的白矮星，如果其質量大於1.4倍太陽質量，就會發生Ia型超新星爆發。[73] 類星體,20世紀60年代以來，天文學家還找到一種在銀河系以外像恆星一樣表現為一個光點的天體，但實際上它的光度和質量又和星系一樣，我們叫它類星體，現在已發現了數千個這種天體。[74] 超新星，是恆星演化過程中的一個階段。超新星爆發是某些恆星在演化接近末期時經歷的一種劇烈爆炸。一般認為質量小於9倍太陽質量左右的恆星，在經歷引力坍縮的過程後是無法形成超新星的。[75]  在大質量恆星演化到晚期，內部不能產生新的能量，巨大的引力將整個星體迅速向中心坍縮，將中心物質都壓成中子狀態，形成中子星，而外層下坍的物質遇到這堅硬的“中子核”反彈引起爆炸。這就成為超新星爆發，質量更大時，中心更可形成黑洞。[76]  在超新星爆發的過程中所釋放的能量，需要我們的太陽燃燒900億年才能與之相當。[77]  超新星研究有着關乎人類自身命運的深層意義。如果一顆超新星爆發的位置非常接近地球，目前國際天文學界普遍認為此距離在100光年以內，它就能夠對地球的生物圈產生明顯的影響，這樣的超新星被稱為近地超新星。有研究認為，在地球歷史上的奧陶紀大滅絕，就是一顆近地超新星引起的，這次滅絕導致當時地球近60%的海洋生物消失。[78]

克萊因瓶是一個不可定向的二維緊流形，而球面或輪胎面是

克萊因瓶是一個不可定向的二維緊流形，而球面或輪胎面是可 克萊因瓶 克萊因瓶 定向的二維緊流形。如果觀察克萊因瓶，有一點似乎令人困惑－－克萊因瓶的瓶頸和瓶身是相交的，換句話說，瓶頸上的某些點和瓶壁上的某些點占據了三維空間中的同一個位置。我們可以把克萊因瓶放在四維空間中理解：克萊因瓶是一個在四維空間中才可能真正表現出來的曲面。如果我們一定要把它表現在我們生活的三維空間中，我們只好將就點，把它表現得似乎是自己和自己相交一樣。克萊因瓶的瓶頸是穿過了第四維空間再和瓶底圈連起來的，並不穿過瓶壁。用扭結來打比方，如果把它看作平面上的曲線的話，那麼它似乎自身相交，再一看似乎又斷成了三截。但其實很容易明白，這個圖形其實是三維空間中的曲線。它並不和自己相交，而是連續不斷的一條曲線。在平面上一條曲線自然做不到這樣，但是如果有第三維的話，它就可以穿過第三維來避開和自己相交。只是因為我們要把它畫在二維平面上時，只好將就一點，把它畫成相交或者斷裂了的樣子。克萊因瓶也一樣，我們可以把它理解成處於四維空間中的曲面。在我們這個三維空間中，即使是最高明的能工巧匠，也不得不把它做成自身相交的模樣；就好像最高明的畫家，在紙上畫扭結的時候也不得不把它們畫成自身相交的模樣。有趣的是，如果把克萊因瓶沿着它的對稱線切下去，竟會得到兩個莫比烏斯環。在二維看似穿過自身的繩子 在二維看似穿過自身的繩子 如果莫比烏斯帶能夠完美的展現一個“二維空間中一維可無限擴展之空間模型”的話，克萊因瓶只能作為展現一個“三維空間中二維可無限擴展之空間模型”的參考。因為在製作莫比烏斯帶的過程中，我們要對紙帶進行180°翻轉再首尾相連，這就是一個三維空間下的操作。理想的“三維空間中二維可無限擴展之空間模型”應該是在二維面中，朝任意方向前進都可以回到原點的模型，而克萊因瓶雖然在二維面上可以向任意方向無限前進。但是只有在兩個特定的方向上才會回到原點，並且只有在其中一個方向上，回到原點之前會經過一個“逆向原點”，真正理想的“三維空間中二維可無限擴展之空間模型”也應該是在二維面上朝任何方向前進，都會先經過一次“逆向原點”，再回到原點。而製作這個模型，則需要在四維空間上對三維模型進行扭曲。數學中有一個重要分支叫“拓撲學”，主要是研究幾何圖形連續改變形狀時的一些特徵和規律的，克萊因瓶和莫比烏斯帶變成了拓撲學中最有趣的問題之一。莫比烏斯帶的概念被廣泛地應用到了建築，藝術，工業生產中。三維空間裡的克萊因瓶 拓撲學的定義編輯 克萊因瓶定義為正方形區域 [0,1]×[0,1] 模掉等價關係(0,y)~(1,y), 0≤y≤1 和 (x,0)~(1-x,1), 0≤x≤1。類似於 Mobius Band, 克萊因瓶不可定向。但 Mobius 帶可嵌入   ，而克萊因瓶只能嵌入四維（或更高維）空間。莫比烏斯帶編輯 把一條紙帶的一段扭180°，再和另一端粘起來就得到一條莫比烏斯帶的模型。這也是一個只有莫比烏斯帶、一個面的曲面，但是和球面、輪胎面和克萊因瓶不同的是，它有邊（注意，它只有一條邊）。如果我們把兩條莫比烏斯帶沿着它們唯一的邊粘合起來，你就得到了一個克萊因瓶 莫比烏斯帶 莫比烏斯帶 （當然不要忘了，我們必須在四維空間中才能真正有可能完成這個粘合，否則的話就不得不把紙撕破一點）。同樣地，如果把一個克萊因瓶適當地剪開來，我們就能得到兩條莫比烏斯帶。除了我們上面看到的克萊因瓶的模樣，還有一種不太為人所知的“8字形”克萊因瓶。它看起來和上面的曲面完全不同，但是在四維空間中它們其實就是同一個曲面－－克萊因瓶。實際上，可以說克萊因瓶是一個3°的莫比烏斯帶。我們知道，在平面上畫一個圓，再在圓內放一樣東西，假如在二度空間中將它拿出來，就不得不越過圓周。但在三度空間中，很容易不越過圓周就將其拿出來，放到圓外。將物體的軌跡連同原來的圓投影到二度空間中，就是一個“二維克萊因瓶”，即莫比烏斯帶（這裡的莫比烏斯帶是指拓撲意義上的莫比烏斯帶）。再設想一下，在我們的3°空間中，不可能在不打破蛋殼的前提下從雞蛋中取出蛋黃，但在四度空間裡卻可以。將蛋黃的軌跡連同蛋殼投影在三度空間中，必然可以看到一個克萊因瓶。製造經歷編輯 過去，德國數學家克萊因就曾提出了“不可能”設想，即拓撲學的大怪物－－克萊因瓶。這種瓶子根本沒有內、外之分，無論從什麼地方穿透曲面，到達之處依然在瓶的外面，所以，它本質上就是一個“有外無內”的古怪東西。儘管現代玻璃工業已經發展得非常先進，但是，所謂的“克萊因瓶”卻始終是大數學家克萊因先生腦子裡頭的“虛構物”，根本製造不出來。許多國家的數學家老是想造它一個出來，作為獻給國際數學家大會的禮物。然而，等待他們的是一個失敗接着一個失敗。也有人認為，即使造不出玻璃製品，能造出一個紙模型也不錯。如果真的解決了這個問題，那可是個大收穫！直徑和年齡 最新的研究認為宇宙的直徑可920億光年，甚至更大。[28] 目前可觀測的宇宙年齡大約為138.2億年。[29] 形狀 宇宙微波背景的溫度一端高，暗示呈彎曲狀 宇宙微波背景的溫度一端高，暗示呈彎曲狀 [30] 目前的宇宙理論認為宇宙可能是類似馬鞍狀的負彎曲形狀，該理論源於宇宙大爆炸理論，整個宇宙的外形如同一個吹起的氣球，我們則生活在宇宙的“表面”。[31] 同時，科學家也認為宇宙是平坦的，根據美國宇航局的調查，宇宙可能是平坦的，2013年的調查發現如果宇宙是平坦的，那麼誤差只有0.4%。[32] 斯蒂芬·霍金表示，我們宇宙的形狀可能是一種難以置信的幾何圖形，更接近於超現實主義的藝術，如同荷蘭藝術家摩里茨·科奈里斯·埃舍爾創 銀河系 銀河系 [33] 作的圖形一樣。霍金的想法以弦理論為依據，而該理論目前仍然還處於假設之中，並未被驗證。如果用語言來形容宇宙的形狀，應該是整體呈現多重鑲嵌模式，具有無限重複出現的扭曲面，曲面間環環相扣，如同科奈里斯·埃舍爾創作的“圓形極限IV”圖案，也與美國工程師P.H. Smith創作的“史密斯圓圖”類似，體現出雙曲空間的概念，是一種非歐幾何的空間形態。[34] 層次結構 當代天文學研究成果表明，宇宙是有層次結構的、 即將發生碰撞的兩個星系NGC 470和NGC 474 即將發生碰撞的兩個星系NGC 470和NGC 474 [35] 不斷膨脹、物質形態多樣的、不斷運動發展的天體系統。行星、小行星、彗星和流星體都圍繞中心天體太陽運轉，構成太陽系。太陽系外也存在其他行星系統。約2500億顆類似太陽的恆星和星際物質構成更巨大的天體系統——銀河系。銀河系的直徑約10萬光年，太陽位於銀河系的一個旋臂中，距銀心約2.6萬光年。銀河系外還有許多類似的天體系統，稱為河外星系，常簡稱星系。目前觀測到1000億個星系，科學家估計宇宙中至少有2萬億個星系。星系聚集成大大小小的集團，叫星系團。平均而言，每個星系團約有百餘個星系，直徑達上千萬光年。現已發現上萬個星系團。包括銀河系在內約40個星系構成的一個小星系團叫本星系群。橢圓星系Hercules A中心超大黑洞引發的噴流 橢圓星系Hercules A中心超大黑洞引發的噴流 [36] 若干星系團集聚在一起構成的更高一層次的天體系統叫超星系團。超星系團往往具有扁長的外形，其長徑可達數億光年。通常超星系團內只含有幾個星系團，只有少數超星系團擁有幾十個星系團。本星系群和其附近的約50個星系團構成的超星系團叫做本超星系團。星系分類 根據可反映星系發展狀態的序列號對星系進行了分類，可以粗略地將星系劃分出橢圓星系、透鏡星系、漩渦星系、棒旋星系和不規則星系等五種。[37] 太陽系天體 太陽質量占太陽系總質量的99.86%，它以自己強大的引力將 NASA公布的太陽風暴的照片 NASA公布的太陽風暴的照片 [38] 太陽系裡的所有天體牢牢地吸引在它的周圍，使它們不離不散、井然有序地繞自己旋轉。同時，太陽又作為一顆普通恆星，帶領它的成員，萬古不息地繞銀河系的中心運動。[39]  太陽的半徑為696000千米，質量為1.989×10^30kg，中心溫度約15000000 ℃，。[40]  如果一個人站在太陽表面，那麼他的體重將會是在地球上的20倍。[41]  現代星雲假說根據觀測資料和理論計算，提出：太陽系原始星雲是巨大的星際雲瓦解的一個小雲，一開始就在自轉，並在自身引力作用下收縮，中心部分形成太陽，外部演化成星雲盤，星雲盤以後形成行星。目前，現代星雲說又存在不同學派，這些學派之間還存在着許多差別，有待進一步研究和證實。[42] 金星是離太陽的第二顆行星，夜空中亮度僅次於月球。[43]  金星上沒有水，大氣中嚴重缺氧，二氧化碳占97%以上，空氣中有一層厚達20千米至30千米的濃硫酸雲，地面溫度從不低於400℃，是個名副其實的“煉獄”般世界。金星地面的大氣壓強為地球的90倍，相當於地球海洋中900米深度時的壓強。金星大氣主要由二氧化碳等溫室氣體組成，失控的溫室效應，是導致金星極端氣候的主要原因。由於金星沒有內稟磁層保護，誘發磁層中磁場重聯釋放的巨大能量，使得金星大氣被加熱後加速逃逸。科學界認為，金星上大氣的逃逸，是造成金星上缺水而被富含二氧化碳的稠密大氣所籠罩，從而導致嚴重的溫室效應的原因。[44] 木星是離太陽第五顆行星，而且是最大的一顆，比所有其他的行星 木星及其衛星歐羅巴（木衛二） 木星及其衛星歐羅巴（木衛二） [45] 的合質量大2倍（地球的318倍），直徑142987km。它是氣態行星沒有實體表面，由90%的氫和10%的氦（原子數之比, 75/25%的質量比）及微量的甲烷、水、氨水和“石頭”組成。這與形成整個太陽系的原始的太陽系星雲的組成十分相似。木星可能有一個石質的內核，相當於10－15個地球的質量。內核上則是大部分的行星物質集結地，以液態氫的形式存在。液態金屬氫由離子化的質子與電子組成（類似於太陽的內部，不過溫度低多了）。木星共有67顆木衛。按距離木星中心由近及遠的次序為：木衛十六、木衛十四、木衛五、木衛十五、木衛一、木衛二、木衛三、木衛四、木衛十三、木衛六、木衛十、木衛七、木衛十二、木衛十一、木衛八和木衛九。[46] 水星是最接近太陽的行星。水星的半徑約為2440公里，在八大行星中是最小的。水星晝夜溫差極大，白天攝氏 430 度，晚上約可達零下170 度，是太陽系八大行星中溫差最大的一個行星。[47]  水星的外大氣層非常稀薄，是由水星表面和太陽風中的原子和離子構成。[48]  科學家確認水星表面含有豐富的碳，認為碳是水星表面呈黑色的原因，水星表面的岩石是由低重量百分比的石墨碳構成。[49] “好奇號”火星探測器在火星表面採集樣本 “好奇號”火星探測器在火星表面採集樣本 [50] 火星是地球的近鄰，是太陽系由內往外數第四顆行星。直徑6794km，體積為地球的15%，質量為地球的11%。火星表面是一個荒涼的世界，空氣中二氧化碳占了95%。火星大氣十分稀薄，密度還不到地球大氣的1%，因而根本無法保存熱量。這導致火星表面溫度極低，很少超過0℃，在夜晚，最低溫度則可達到-123℃。火星被稱為紅色的行星，這是因為它表面布滿了氧化物，因而呈現出鐵鏽紅色。其表面的大部分地區都是含有大量的紅色氧化物的大沙漠，還有赭色的礫石地和凝固的熔岩流。火星上常常有猛烈的大風，大風揚起沙塵能形成可以覆蓋火星全球的特大型沙塵暴。每次沙塵暴可持續數個星期。火星兩極的冰冠和火星大氣中含有水份。從火星表面獲得的探測數據證明，在遠古時期，火星曾經有過液態的水，而且水量特別大。[51] 土星是離太陽第六顆行星，直徑120536㎞，體積僅次於木星。主要由氫組成，還有少量的氦與微量元素，內部的核心包括岩石和冰，外圍由數層金屬氫和氣體包裹着。地球距離土星13億公里。土星的引力比地球強2.5倍，能夠牽引太陽系內其它行星，使地球處於一個橢圓軌道中運行，並且與太陽保持適當距離，適宜生命繁衍。當土星軌道傾斜20度將使地球軌道比金星軌道更接近太陽，同時，這將導致火星完全離開太陽系。[52]  土星是已知唯一密度小於水的行星，假如能夠將土星放入一個巨大的浴池之中，它將可以漂浮起來。土星有一個巨大的磁氣圈和一個狂風肆虐的大氣層，赤道附近的風速可達1800千米/時。在環繞土星運行的31顆衛星中間，土衛六是最大的一顆，比水星和月球還大，也是太陽系中唯一擁有濃厚大氣層的衛星。[53] 天王星是離太陽第七顆行星，51118km。體積約為地球的65倍，在九大行星中僅次於木星和土星。天王星的大氣層中83%是氫，15%為氦，2%為甲烷以及少量的乙炔和碳氫化合物。上層大氣層的甲烷吸收紅光，使天王星呈現藍綠色。大氣在固定緯度集結成雲層，類似於木星和土星在緯線上鮮艷的條狀色帶。天王星雲層的平均溫度為零下193攝氏度。質量為8.6810±13×102⁵kg，相當於地球質量的14.63倍。密度較小，只有1.24克/立方厘米，為海王星密度值的74.7%。[54] 恆星 恆星 海王星是離太陽的第八顆行星，直徑49532千米。海王星繞太陽運轉的軌道半徑為45億千米，公轉一周需要165年。海王星的直徑和天王星類似，質量比天王星略大一些。海王星和天王星的主要大氣成分都是氫和氦，內部結構也極為相近，所以說海王星與天王星是一對孿生兄弟。[55]  海王星有太陽系最強烈的風，測量到的時速高達2100公里。海王星雲頂的溫度是－218 °C，是太陽系最冷的地區之一。海王星核心的溫度約為7000 °C，可以和太陽的表面比較。海王星在1846年9月23日被發現，是唯一利用數學預測而非有計劃的觀測發現的行星。[56] 冥王星，位於海王星以外的柯伊伯帶內側，是柯伊伯帶中已知的最大天體。[57]  直徑約為2370±20km，是地球直徑的18.5%。[58] 2006年8月24日，國際天文學聯合會大會24日投票決定，不再將傳統九大行星之一的冥王星視為行星，而將其列入“矮行星”。大會通過的決議規定，“行星”指的是圍繞太陽運轉、自身引力足以克服其剛體力而使天體呈圓球狀、能夠清除其軌道附近其他物體的天體。在太陽系傳統的“九大行星”中，只有水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王星和海王星符合這些要求。冥王星由於其軌道與海王星的軌道相交，不符合新的行星定義，因此被自動降級為“矮行星”。[59]  冥王星的表面溫度大概在-238到-228℃之間。冥王星的成份由70%岩石和30%冰水混合而成的。地表上光亮的部分可能覆蓋着一些固體氮以及少量 衛星拍月球經過地球，可見清晰月球背面 衛星拍月球經過地球，可見清晰月球背面 [60] 的固體甲烷和一氧化碳，冥王星表面的黑暗部分可能是一些基本的有機物質或是由宇宙射線引發的光化學反應。冥王星的大氣層主要由氮和少量的一氧化碳及甲烷組成。大氣極其稀薄，地面壓強只有少量微帕。[61] 地球是離太陽第三顆行星，是我們人類的家鄉，儘管地球是太陽系中一顆普通的行星，但它在許多方面都是獨一無二的。比如，它是太陽系中唯一一顆面積大部分被水覆蓋的行星，也是目前所知唯一一顆有生命存在的星球。質量M=5.9742 ×10^24 公斤，表面溫度：t = - 30 ～ +45。[62]  英國科研人員在《天體生物學》雜誌上報告說，如果沒有小行星撞擊等可能劇烈改變環境的事件發生，地球適宜人類居住的時間還剩約17.5億年，不過人為造成的氣候變化可能縮短這一時間。[63] 彗星是由灰塵和冰塊組成的太陽系中的一類小天體，繞日運動。[64]  科學家使用探測器對彗星的化學遺留物進行分析，發現其主要成份為氨、甲烷、硫化氫、氰化氫和甲醛。科學家得出結論稱，彗星的氣味聞起來像是臭雞蛋、馬尿、酒精和苦杏仁的氣味綜合。[65-66] “67P/楚留莫夫-格拉希門克”彗星 “67P/楚留莫夫-格拉希門克”彗星 [67] 在太陽系的周圍還包裹着一個龐大的“奧爾特雲”。星雲內分布着不計其數的冰塊、雪團和碎石。其中的某些會受太陽引力影響飛入內太陽系，這就是彗星。這些冰塊、雪團和碎石進入太陽系內部，其表面因受太陽風的吹拂而開始揮發。所以彗星都拖着一條長長的尾巴，而且越靠近太陽尾巴越長、越明顯。太陽系內的星際空間並不是真空的，而是充滿了各種粒子、射線、氣體和塵埃。[68] 柯伊伯帶，是一種理論推測認為短周期彗星是來自離太陽50—500天文單位的一個環帶，位於太陽系的盡頭。柯伊伯帶是冰質殘片組成的巨環，位於海王星軌道之外，環繞着太陽系的外邊緣。[69] 物質多樣性 紅巨星，當一顆恆星度過它漫長的青壯年期——主序星階段，步入老年期時，它將首先變為一顆紅巨星。稱它為“巨星”，是突出它的體積巨大。在巨星階段，恆星的體積將膨脹到十億倍之多。稱它為“紅”巨星，是因為在這恆星迅速膨脹的同時，它的外表面離中心越來越遠，所以溫度將隨之而降低，發出的光也就越來越偏紅。不過，雖然溫度降低了一些，可紅巨星的體積是如此之大，它的光度也變得很大，極為明亮。紅巨星一旦形成，就朝恆星的下一階段白矮星進發。[70] 白矮星，是一種低光度、高密度、高溫度的恆星。因為顏色呈白色、體積比較矮小，因此被命名為白矮星。哈勃望遠鏡觀測到白矮星死亡過程 哈勃望遠鏡觀測到白矮星死亡過程 [71] 白矮星是一種很特殊的天體，它的體積小、亮度低，但質量大、密度極高。白矮星是中低質量的恆星的演化路線的終點。在紅巨星階段的末期，恆星的中心會因為溫度、壓力不足或者核聚變達到鐵階段而停止產生能量。恆星外殼的重力會壓縮恆星產生一個高密度的天體。一個典型的穩定獨立白矮星具有大約半個太陽質量，比地球略大。這種密度僅次於中子星和夸剋星。如果白矮星的質量超過1.4倍太陽質量，那麼原子核之間的電荷斥力不足以對抗重力，電子會被壓入原子核而形成中子星。原子是由原子核和電子組成的，原子的質量絕大部分集中在原子核上，在巨大的壓力之下，電子將脫離原子核，成自由電子。這種自由電子氣體將儘可能地占據原子核之間的空隙，從而使單位空間內包含的物質也將大大增多，密度大大提高了。形象地說，這時原子核是“沉浸於”電子中，常稱之為“簡併態”。[72]  大多數的恆星內核通過氫核聚變進行燃燒，將質量轉變為能量，並產生光和熱量，當恆星內部氫燃料完成消耗完後就開始進行氦融合反應，並形成更重的碳和氧，這一過程對於類似太陽這樣的恆星而言，就顯得較為短暫，並形成碳氧組成的白矮星，如果其質量大於1.4倍太陽質量，就會發生Ia型超新星爆發。[73] 類星體,20世紀60年代以來，天文學家還找到一種在銀河系以外像恆星一樣表現為一個光點的天體，但實際上它的光度和質量又和星系一樣，我們叫它類星體，現在已發現了數千個這種天體。[74] 超新星，是恆星演化過程中的一個階段。超新星爆發是某些恆星在演化接近末期時經歷的一種劇烈爆炸。一般認為質量小於9倍太陽質量左右的恆星，在經歷引力坍縮的過程後是無法形成超新星的。[75]  在大質量恆星演化到晚期，內部不能產生新的能量，巨大的引力將整個星體迅速向中心坍縮，將中心物質都壓成中子狀態，形成中子星，而外層下坍的物質遇到這堅硬的“中子核”反彈引起爆炸。這就成為超新星爆發，質量更大時，中心更可形成黑洞。[76]  在超新星爆發的過程中所釋放的能量，需要我們的太陽燃燒900億年才能與之相當。[77]  超新星研究有着關乎人類自身命運的深層意義。如果一顆超新星爆發的位置非常接近地球，目前國際天文學界普遍認為此距離在100光年以內，它就能夠對地球的生物圈產生明顯的影響，這樣的超新星被稱為近地超新星。有研究認為，在地球歷史上的奧陶紀大滅絕，就是一顆近地超新星引起的，這次滅絕導致當時地球近60%的海洋生物消失。[78]

克萊因瓶是一個不可定向的二維緊流形，而球面或輪胎面是

克萊因瓶是一個不可定向的二維緊流形，而球面或輪胎面是可 克萊因瓶 克萊因瓶 定向的二維緊流形。如果觀察克萊因瓶，有一點似乎令人困惑－－克萊因瓶的瓶頸和瓶身是相交的，換句話說，瓶頸上的某些點和瓶壁上的某些點占據了三維空間中的同一個位置。我們可以把克萊因瓶放在四維空間中理解：克萊因瓶是一個在四維空間中才可能真正表現出來的曲面。如果我們一定要把它表現在我們生活的三維空間中，我們只好將就點，把它表現得似乎是自己和自己相交一樣。克萊因瓶的瓶頸是穿過了第四維空間再和瓶底圈連起來的，並不穿過瓶壁。用扭結來打比方，如果把它看作平面上的曲線的話，那麼它似乎自身相交，再一看似乎又斷成了三截。但其實很容易明白，這個圖形其實是三維空間中的曲線。它並不和自己相交，而是連續不斷的一條曲線。在平面上一條曲線自然做不到這樣，但是如果有第三維的話，它就可以穿過第三維來避開和自己相交。只是因為我們要把它畫在二維平面上時，只好將就一點，把它畫成相交或者斷裂了的樣子。克萊因瓶也一樣，我們可以把它理解成處於四維空間中的曲面。在我們這個三維空間中，即使是最高明的能工巧匠，也不得不把它做成自身相交的模樣；就好像最高明的畫家，在紙上畫扭結的時候也不得不把它們畫成自身相交的模樣。有趣的是，如果把克萊因瓶沿着它的對稱線切下去，竟會得到兩個莫比烏斯環。在二維看似穿過自身的繩子 在二維看似穿過自身的繩子 如果莫比烏斯帶能夠完美的展現一個“二維空間中一維可無限擴展之空間模型”的話，克萊因瓶只能作為展現一個“三維空間中二維可無限擴展之空間模型”的參考。因為在製作莫比烏斯帶的過程中，我們要對紙帶進行180°翻轉再首尾相連，這就是一個三維空間下的操作。理想的“三維空間中二維可無限擴展之空間模型”應該是在二維面中，朝任意方向前進都可以回到原點的模型，而克萊因瓶雖然在二維面上可以向任意方向無限前進。但是只有在兩個特定的方向上才會回到原點，並且只有在其中一個方向上，回到原點之前會經過一個“逆向原點”，真正理想的“三維空間中二維可無限擴展之空間模型”也應該是在二維面上朝任何方向前進，都會先經過一次“逆向原點”，再回到原點。而製作這個模型，則需要在四維空間上對三維模型進行扭曲。數學中有一個重要分支叫“拓撲學”，主要是研究幾何圖形連續改變形狀時的一些特徵和規律的，克萊因瓶和莫比烏斯帶變成了拓撲學中最有趣的問題之一。莫比烏斯帶的概念被廣泛地應用到了建築，藝術，工業生產中。三維空間裡的克萊因瓶 拓撲學的定義編輯 克萊因瓶定義為正方形區域 [0,1]×[0,1] 模掉等價關係(0,y)~(1,y), 0≤y≤1 和 (x,0)~(1-x,1), 0≤x≤1。類似於 Mobius Band, 克萊因瓶不可定向。但 Mobius 帶可嵌入   ，而克萊因瓶只能嵌入四維（或更高維）空間。莫比烏斯帶編輯 把一條紙帶的一段扭180°，再和另一端粘起來就得到一條莫比烏斯帶的模型。這也是一個只有莫比烏斯帶、一個面的曲面，但是和球面、輪胎面和克萊因瓶不同的是，它有邊（注意，它只有一條邊）。如果我們把兩條莫比烏斯帶沿着它們唯一的邊粘合起來，你就得到了一個克萊因瓶 莫比烏斯帶 莫比烏斯帶 （當然不要忘了，我們必須在四維空間中才能真正有可能完成這個粘合，否則的話就不得不把紙撕破一點）。同樣地，如果把一個克萊因瓶適當地剪開來，我們就能得到兩條莫比烏斯帶。除了我們上面看到的克萊因瓶的模樣，還有一種不太為人所知的“8字形”克萊因瓶。它看起來和上面的曲面完全不同，但是在四維空間中它們其實就是同一個曲面－－克萊因瓶。實際上，可以說克萊因瓶是一個3°的莫比烏斯帶。我們知道，在平面上畫一個圓，再在圓內放一樣東西，假如在二度空間中將它拿出來，就不得不越過圓周。但在三度空間中，很容易不越過圓周就將其拿出來，放到圓外。將物體的軌跡連同原來的圓投影到二度空間中，就是一個“二維克萊因瓶”，即莫比烏斯帶（這裡的莫比烏斯帶是指拓撲意義上的莫比烏斯帶）。再設想一下，在我們的3°空間中，不可能在不打破蛋殼的前提下從雞蛋中取出蛋黃，但在四度空間裡卻可以。將蛋黃的軌跡連同蛋殼投影在三度空間中，必然可以看到一個克萊因瓶。製造經歷編輯 過去，德國數學家克萊因就曾提出了“不可能”設想，即拓撲學的大怪物－－克萊因瓶。這種瓶子根本沒有內、外之分，無論從什麼地方穿透曲面，到達之處依然在瓶的外面，所以，它本質上就是一個“有外無內”的古怪東西。儘管現代玻璃工業已經發展得非常先進，但是，所謂的“克萊因瓶”卻始終是大數學家克萊因先生腦子裡頭的“虛構物”，根本製造不出來。許多國家的數學家老是想造它一個出來，作為獻給國際數學家大會的禮物。然而，等待他們的是一個失敗接着一個失敗。也有人認為，即使造不出玻璃製品，能造出一個紙模型也不錯。如果真的解決了這個問題，那可是個大收穫！直徑和年齡 最新的研究認為宇宙的直徑可920億光年，甚至更大。[28] 目前可觀測的宇宙年齡大約為138.2億年。[29] 形狀 宇宙微波背景的溫度一端高，暗示呈彎曲狀 宇宙微波背景的溫度一端高，暗示呈彎曲狀 [30] 目前的宇宙理論認為宇宙可能是類似馬鞍狀的負彎曲形狀，該理論源於宇宙大爆炸理論，整個宇宙的外形如同一個吹起的氣球，我們則生活在宇宙的“表面”。[31] 同時，科學家也認為宇宙是平坦的，根據美國宇航局的調查，宇宙可能是平坦的，2013年的調查發現如果宇宙是平坦的，那麼誤差只有0.4%。[32] 斯蒂芬·霍金表示，我們宇宙的形狀可能是一種難以置信的幾何圖形，更接近於超現實主義的藝術，如同荷蘭藝術家摩里茨·科奈里斯·埃舍爾創 銀河系 銀河系 [33] 作的圖形一樣。霍金的想法以弦理論為依據，而該理論目前仍然還處於假設之中，並未被驗證。如果用語言來形容宇宙的形狀，應該是整體呈現多重鑲嵌模式，具有無限重複出現的扭曲面，曲面間環環相扣，如同科奈里斯·埃舍爾創作的“圓形極限IV”圖案，也與美國工程師P.H. Smith創作的“史密斯圓圖”類似，體現出雙曲空間的概念，是一種非歐幾何的空間形態。[34] 層次結構 當代天文學研究成果表明，宇宙是有層次結構的、 即將發生碰撞的兩個星系NGC 470和NGC 474 即將發生碰撞的兩個星系NGC 470和NGC 474 [35] 不斷膨脹、物質形態多樣的、不斷運動發展的天體系統。行星、小行星、彗星和流星體都圍繞中心天體太陽運轉，構成太陽系。太陽系外也存在其他行星系統。約2500億顆類似太陽的恆星和星際物質構成更巨大的天體系統——銀河系。銀河系的直徑約10萬光年，太陽位於銀河系的一個旋臂中，距銀心約2.6萬光年。銀河系外還有許多類似的天體系統，稱為河外星系，常簡稱星系。目前觀測到1000億個星系，科學家估計宇宙中至少有2萬億個星系。星系聚集成大大小小的集團，叫星系團。平均而言，每個星系團約有百餘個星系，直徑達上千萬光年。現已發現上萬個星系團。包括銀河系在內約40個星系構成的一個小星系團叫本星系群。橢圓星系Hercules A中心超大黑洞引發的噴流 橢圓星系Hercules A中心超大黑洞引發的噴流 [36] 若干星系團集聚在一起構成的更高一層次的天體系統叫超星系團。超星系團往往具有扁長的外形，其長徑可達數億光年。通常超星系團內只含有幾個星系團，只有少數超星系團擁有幾十個星系團。本星系群和其附近的約50個星系團構成的超星系團叫做本超星系團。星系分類 根據可反映星系發展狀態的序列號對星系進行了分類，可以粗略地將星系劃分出橢圓星系、透鏡星系、漩渦星系、棒旋星系和不規則星系等五種。[37] 太陽系天體 太陽質量占太陽系總質量的99.86%，它以自己強大的引力將 NASA公布的太陽風暴的照片 NASA公布的太陽風暴的照片 [38] 太陽系裡的所有天體牢牢地吸引在它的周圍，使它們不離不散、井然有序地繞自己旋轉。同時，太陽又作為一顆普通恆星，帶領它的成員，萬古不息地繞銀河系的中心運動。[39]  太陽的半徑為696000千米，質量為1.989×10^30kg，中心溫度約15000000 ℃，。[40]  如果一個人站在太陽表面，那麼他的體重將會是在地球上的20倍。[41]  現代星雲假說根據觀測資料和理論計算，提出：太陽系原始星雲是巨大的星際雲瓦解的一個小雲，一開始就在自轉，並在自身引力作用下收縮，中心部分形成太陽，外部演化成星雲盤，星雲盤以後形成行星。目前，現代星雲說又存在不同學派，這些學派之間還存在着許多差別，有待進一步研究和證實。[42] 金星是離太陽的第二顆行星，夜空中亮度僅次於月球。[43]  金星上沒有水，大氣中嚴重缺氧，二氧化碳占97%以上，空氣中有一層厚達20千米至30千米的濃硫酸雲，地面溫度從不低於400℃，是個名副其實的“煉獄”般世界。金星地面的大氣壓強為地球的90倍，相當於地球海洋中900米深度時的壓強。金星大氣主要由二氧化碳等溫室氣體組成，失控的溫室效應，是導致金星極端氣候的主要原因。由於金星沒有內稟磁層保護，誘發磁層中磁場重聯釋放的巨大能量，使得金星大氣被加熱後加速逃逸。科學界認為，金星上大氣的逃逸，是造成金星上缺水而被富含二氧化碳的稠密大氣所籠罩，從而導致嚴重的溫室效應的原因。[44] 木星是離太陽第五顆行星，而且是最大的一顆，比所有其他的行星 木星及其衛星歐羅巴（木衛二） 木星及其衛星歐羅巴（木衛二） [45] 的合質量大2倍（地球的318倍），直徑142987km。它是氣態行星沒有實體表面，由90%的氫和10%的氦（原子數之比, 75/25%的質量比）及微量的甲烷、水、氨水和“石頭”組成。這與形成整個太陽系的原始的太陽系星雲的組成十分相似。木星可能有一個石質的內核，相當於10－15個地球的質量。內核上則是大部分的行星物質集結地，以液態氫的形式存在。液態金屬氫由離子化的質子與電子組成（類似於太陽的內部，不過溫度低多了）。木星共有67顆木衛。按距離木星中心由近及遠的次序為：木衛十六、木衛十四、木衛五、木衛十五、木衛一、木衛二、木衛三、木衛四、木衛十三、木衛六、木衛十、木衛七、木衛十二、木衛十一、木衛八和木衛九。[46] 水星是最接近太陽的行星。水星的半徑約為2440公里，在八大行星中是最小的。水星晝夜溫差極大，白天攝氏 430 度，晚上約可達零下170 度，是太陽系八大行星中溫差最大的一個行星。[47]  水星的外大氣層非常稀薄，是由水星表面和太陽風中的原子和離子構成。[48]  科學家確認水星表面含有豐富的碳，認為碳是水星表面呈黑色的原因，水星表面的岩石是由低重量百分比的石墨碳構成。[49] “好奇號”火星探測器在火星表面採集樣本 “好奇號”火星探測器在火星表面採集樣本 [50] 火星是地球的近鄰，是太陽系由內往外數第四顆行星。直徑6794km，體積為地球的15%，質量為地球的11%。火星表面是一個荒涼的世界，空氣中二氧化碳占了95%。火星大氣十分稀薄，密度還不到地球大氣的1%，因而根本無法保存熱量。這導致火星表面溫度極低，很少超過0℃，在夜晚，最低溫度則可達到-123℃。火星被稱為紅色的行星，這是因為它表面布滿了氧化物，因而呈現出鐵鏽紅色。其表面的大部分地區都是含有大量的紅色氧化物的大沙漠，還有赭色的礫石地和凝固的熔岩流。火星上常常有猛烈的大風，大風揚起沙塵能形成可以覆蓋火星全球的特大型沙塵暴。每次沙塵暴可持續數個星期。火星兩極的冰冠和火星大氣中含有水份。從火星表面獲得的探測數據證明，在遠古時期，火星曾經有過液態的水，而且水量特別大。[51] 土星是離太陽第六顆行星，直徑120536㎞，體積僅次於木星。主要由氫組成，還有少量的氦與微量元素，內部的核心包括岩石和冰，外圍由數層金屬氫和氣體包裹着。地球距離土星13億公里。土星的引力比地球強2.5倍，能夠牽引太陽系內其它行星，使地球處於一個橢圓軌道中運行，並且與太陽保持適當距離，適宜生命繁衍。當土星軌道傾斜20度將使地球軌道比金星軌道更接近太陽，同時，這將導致火星完全離開太陽系。[52]  土星是已知唯一密度小於水的行星，假如能夠將土星放入一個巨大的浴池之中，它將可以漂浮起來。土星有一個巨大的磁氣圈和一個狂風肆虐的大氣層，赤道附近的風速可達1800千米/時。在環繞土星運行的31顆衛星中間，土衛六是最大的一顆，比水星和月球還大，也是太陽系中唯一擁有濃厚大氣層的衛星。[53] 天王星是離太陽第七顆行星，51118km。體積約為地球的65倍，在九大行星中僅次於木星和土星。天王星的大氣層中83%是氫，15%為氦，2%為甲烷以及少量的乙炔和碳氫化合物。上層大氣層的甲烷吸收紅光，使天王星呈現藍綠色。大氣在固定緯度集結成雲層，類似於木星和土星在緯線上鮮艷的條狀色帶。天王星雲層的平均溫度為零下193攝氏度。質量為8.6810±13×102⁵kg，相當於地球質量的14.63倍。密度較小，只有1.24克/立方厘米，為海王星密度值的74.7%。[54] 恆星 恆星 海王星是離太陽的第八顆行星，直徑49532千米。海王星繞太陽運轉的軌道半徑為45億千米，公轉一周需要165年。海王星的直徑和天王星類似，質量比天王星略大一些。海王星和天王星的主要大氣成分都是氫和氦，內部結構也極為相近，所以說海王星與天王星是一對孿生兄弟。[55]  海王星有太陽系最強烈的風，測量到的時速高達2100公里。海王星雲頂的溫度是－218 °C，是太陽系最冷的地區之一。海王星核心的溫度約為7000 °C，可以和太陽的表面比較。海王星在1846年9月23日被發現，是唯一利用數學預測而非有計劃的觀測發現的行星。[56] 冥王星，位於海王星以外的柯伊伯帶內側，是柯伊伯帶中已知的最大天體。[57]  直徑約為2370±20km，是地球直徑的18.5%。[58] 2006年8月24日，國際天文學聯合會大會24日投票決定，不再將傳統九大行星之一的冥王星視為行星，而將其列入“矮行星”。大會通過的決議規定，“行星”指的是圍繞太陽運轉、自身引力足以克服其剛體力而使天體呈圓球狀、能夠清除其軌道附近其他物體的天體。在太陽系傳統的“九大行星”中，只有水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王星和海王星符合這些要求。冥王星由於其軌道與海王星的軌道相交，不符合新的行星定義，因此被自動降級為“矮行星”。[59]  冥王星的表面溫度大概在-238到-228℃之間。冥王星的成份由70%岩石和30%冰水混合而成的。地表上光亮的部分可能覆蓋着一些固體氮以及少量 衛星拍月球經過地球，可見清晰月球背面 衛星拍月球經過地球，可見清晰月球背面 [60] 的固體甲烷和一氧化碳，冥王星表面的黑暗部分可能是一些基本的有機物質或是由宇宙射線引發的光化學反應。冥王星的大氣層主要由氮和少量的一氧化碳及甲烷組成。大氣極其稀薄，地面壓強只有少量微帕。[61] 地球是離太陽第三顆行星，是我們人類的家鄉，儘管地球是太陽系中一顆普通的行星，但它在許多方面都是獨一無二的。比如，它是太陽系中唯一一顆面積大部分被水覆蓋的行星，也是目前所知唯一一顆有生命存在的星球。質量M=5.9742 ×10^24 公斤，表面溫度：t = - 30 ～ +45。[62]  英國科研人員在《天體生物學》雜誌上報告說，如果沒有小行星撞擊等可能劇烈改變環境的事件發生，地球適宜人類居住的時間還剩約17.5億年，不過人為造成的氣候變化可能縮短這一時間。[63] 彗星是由灰塵和冰塊組成的太陽系中的一類小天體，繞日運動。[64]  科學家使用探測器對彗星的化學遺留物進行分析，發現其主要成份為氨、甲烷、硫化氫、氰化氫和甲醛。科學家得出結論稱，彗星的氣味聞起來像是臭雞蛋、馬尿、酒精和苦杏仁的氣味綜合。[65-66] “67P/楚留莫夫-格拉希門克”彗星 “67P/楚留莫夫-格拉希門克”彗星 [67] 在太陽系的周圍還包裹着一個龐大的“奧爾特雲”。星雲內分布着不計其數的冰塊、雪團和碎石。其中的某些會受太陽引力影響飛入內太陽系，這就是彗星。這些冰塊、雪團和碎石進入太陽系內部，其表面因受太陽風的吹拂而開始揮發。所以彗星都拖着一條長長的尾巴，而且越靠近太陽尾巴越長、越明顯。太陽系內的星際空間並不是真空的，而是充滿了各種粒子、射線、氣體和塵埃。[68] 柯伊伯帶，是一種理論推測認為短周期彗星是來自離太陽50—500天文單位的一個環帶，位於太陽系的盡頭。柯伊伯帶是冰質殘片組成的巨環，位於海王星軌道之外，環繞着太陽系的外邊緣。[69] 物質多樣性 紅巨星，當一顆恆星度過它漫長的青壯年期——主序星階段，步入老年期時，它將首先變為一顆紅巨星。稱它為“巨星”，是突出它的體積巨大。在巨星階段，恆星的體積將膨脹到十億倍之多。稱它為“紅”巨星，是因為在這恆星迅速膨脹的同時，它的外表面離中心越來越遠，所以溫度將隨之而降低，發出的光也就越來越偏紅。不過，雖然溫度降低了一些，可紅巨星的體積是如此之大，它的光度也變得很大，極為明亮。紅巨星一旦形成，就朝恆星的下一階段白矮星進發。[70] 白矮星，是一種低光度、高密度、高溫度的恆星。因為顏色呈白色、體積比較矮小，因此被命名為白矮星。哈勃望遠鏡觀測到白矮星死亡過程 哈勃望遠鏡觀測到白矮星死亡過程 [71] 白矮星是一種很特殊的天體，它的體積小、亮度低，但質量大、密度極高。白矮星是中低質量的恆星的演化路線的終點。在紅巨星階段的末期，恆星的中心會因為溫度、壓力不足或者核聚變達到鐵階段而停止產生能量。恆星外殼的重力會壓縮恆星產生一個高密度的天體。一個典型的穩定獨立白矮星具有大約半個太陽質量，比地球略大。這種密度僅次於中子星和夸剋星。如果白矮星的質量超過1.4倍太陽質量，那麼原子核之間的電荷斥力不足以對抗重力，電子會被壓入原子核而形成中子星。原子是由原子核和電子組成的，原子的質量絕大部分集中在原子核上，在巨大的壓力之下，電子將脫離原子核，成自由電子。這種自由電子氣體將儘可能地占據原子核之間的空隙，從而使單位空間內包含的物質也將大大增多，密度大大提高了。形象地說，這時原子核是“沉浸於”電子中，常稱之為“簡併態”。[72]  大多數的恆星內核通過氫核聚變進行燃燒，將質量轉變為能量，並產生光和熱量，當恆星內部氫燃料完成消耗完後就開始進行氦融合反應，並形成更重的碳和氧，這一過程對於類似太陽這樣的恆星而言，就顯得較為短暫，並形成碳氧組成的白矮星，如果其質量大於1.4倍太陽質量，就會發生Ia型超新星爆發。[73] 類星體,20世紀60年代以來，天文學家還找到一種在銀河系以外像恆星一樣表現為一個光點的天體，但實際上它的光度和質量又和星系一樣，我們叫它類星體，現在已發現了數千個這種天體。[74] 超新星，是恆星演化過程中的一個階段。超新星爆發是某些恆星在演化接近末期時經歷的一種劇烈爆炸。一般認為質量小於9倍太陽質量左右的恆星，在經歷引力坍縮的過程後是無法形成超新星的。[75]  在大質量恆星演化到晚期，內部不能產生新的能量，巨大的引力將整個星體迅速向中心坍縮，將中心物質都壓成中子狀態，形成中子星，而外層下坍的物質遇到這堅硬的“中子核”反彈引起爆炸。這就成為超新星爆發，質量更大時，中心更可形成黑洞。[76]  在超新星爆發的過程中所釋放的能量，需要我們的太陽燃燒900億年才能與之相當。[77]  超新星研究有着關乎人類自身命運的深層意義。如果一顆超新星爆發的位置非常接近地球，目前國際天文學界普遍認為此距離在100光年以內，它就能夠對地球的生物圈產生明顯的影響，這樣的超新星被稱為近地超新星。有研究認為，在地球歷史上的奧陶紀大滅絕，就是一顆近地超新星引起的，這次滅絕導致當時地球近60%的海洋生物消失。[78]

克萊因瓶是一個不可定向的二維緊流形，而球面或輪胎面是