第2章 分形小波算子的標度協變性與物理解釋

2.1 分形小波算子的定義

在 Hilbert 空間 $H = L^2(mathbb{R})$ 中，我們利用尺度調製的小波展開構造具有分形特徵的波函數 $psi(x)$：

$$\psi (x)=\sum _{j,k}{c}_{j,k}{\psi }_{j,k}(x)$$

其中：

• $psi_{j,k}(x)$：尺度指標為 $j$、平移指標為 $k$ 的小波基函數。

• $c_{j,k} propto 2^{-jalpha} f(k)$：係數呈現尺度依賴性和分形調製特性。其中指數 $alpha$ 是表徵系統分形標度律的關鍵參數，與分形維度 $d_f$ 密切相關（通常 $d_f approx alpha$ 或在特定模型下存在函數關係 $d_f = g(alpha)$）。$f(k)$ 為位置相關的調製函數。

為研究該波函數在尺度變換下的行為，定義如下非幺正算子 $F_{lambda}$：

$$F_{\lambda }[\psi ](x)=\sum _{j,k}{\lambda }^{-d_f\mathrm{/}2}{c}_{j,k}{\psi }_{j,k}(\lambda x)$$

📌 關鍵說明： 該算子 $F_{lambda}$ 不保證 保持波函數的 $L^2$ 範數，即 $| F_{lambda}[psi] |{L^2} neq | psi |{L^2}$。其核心作用在於模擬分形結構在不同物理尺度 $lambda$ 下的調製響應，而非執行嚴格的幺正變換（如量子態的保范演化）。

2.2 標度協變性分析

此構造的核心在於研究分形特徵的標度協變性：當空間尺度通過參數 $lambda$ 進行變換（$x mapsto lambda x$）時，波函數的多尺度振盪結構及其分形維度（$d_f$）是否保持不變。

具體而言，對於具有 $c_{j,k} propto 2^{-jalpha}$ 形式的分形調製係數（$alpha$ 關聯於 $d_f$），尺度變換 $x mapsto lambda x$ 會導致：

1. 小波基函數 $psi_{j,k}(x)$ 的支撐集發生收縮（$lambda > 1$) 或擴展（$lambda < 1$）。

2. 然而，波函數 $psi(x)$ 的整體自相似結構（分形特徵）在變換後得以維持，分形維度 $d_f$ 不變。

這種基於算子 $F_{lambda}$ 的尺度變換模型可用於：

• 多尺度演化分析： 研究分形結構在不同觀測尺度下的表現。

• 能譜結構尺度化模擬： 模擬物理系統能譜在不同尺度上的分形特性 （參見第4章中的譜密度分析）。

• 實驗觀測幾何響應： 通過實驗裝置（如改變顯微鏡放大倍率或空間分辨率）改變有效物理尺度，觀察分形量子態的幾何結構響應。

📌 小結： 算子 $F_{lambda}$ 的核心功能是建立分形結構的標度響應模型。該響應模型提供對分形特性（如分形維度 $d_f$）在不同空間尺度 $lambda$ 下穩定性的量化分析方式。其數學本質更接近於一種非幺正的重構算子，旨在對波函數進行結構性的尺度調製，以便在不同尺度上分析和理解其分形特性，而非描述嚴格的量子態動力學演化。