第3章 小波分形態的幾何度量與維度計算

3.1 分形度量對象的選擇：從函數圖像到支撐集

在小波構造的量子態中，分形特徵可體現於不同層面：

1. 波函數圖像結構： 多尺度振盪行為。

2. 實空間支撐區域： 波函數顯著幅值（能量集中區域）在實空間中的稀疏性。

3. 小波係數空間分布： $lvert c_{j,k} rvert^2$ 的尺度依賴性結構。

4. 傅里葉譜空間分布特性。

本章核心對象： 我們聚焦於波函數在實空間中的支撐集作為分形幾何的度量對象，並研究其在小波展開結構下的 Hausdorff 維度。

定義（$epsilon$-支撐集）：

$${\text{supp}}_{ϵ}(\psi )=\{x\in \mathbb{R}\mid \mid \psi (x)\mid >ϵ\}$$

其中 $epsilon > 0$ 是一個小閾值，用於排除波函數尾部微小的振幅貢獻。在分形態構造下，該集合 $text{supp}_epsilon(psi)$ 通常表現出具有非整數維度的稀疏幾何結構。註： 對於足夠小的 $epsilon$，其分形維數具有穩定性。

3.2 覆蓋數與 Hausdorff 維度計算

為刻畫支撐集 $text{supp}_epsilon(psi)$ 的幾何特性，我們：

1. 引入尺度序列 $epsilon_n = 2^{-n}$ ($n in mathbb{N}$)。

2. 計算在尺度 $epsilon_n$ 下覆蓋 $text{supp}_epsilon(psi)$ 所需的最小區間數 $N(epsilon_n)$。

3. 定義其 Hausdorff 維度 $d_f$ 為：

   $$d_f=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\log N({ϵ}_n)}{\log (1\mathrm{/}{ϵ}_n)}$$

小波構造下的維度計算：
若小波係數的平方模滿足尺度衰減律 $lvert c_{j,k} rvert^2 propto 2^{-j beta}$ (即幅度隨尺度 $j$ 增大而指數稀疏)，則支撐區域在尺度 $j$ 上的密度亦呈指數稀疏。此時覆蓋數滿足：

$$N({ϵ}_n)\sim 2^{n\beta }=e^{n\beta \log 2}$$

代入 Hausdorff 維度定義式得：

$$d_f=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\log (2^{n\beta })}{\log (2^n)}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n\beta \log 2}{n\log 2}=\beta$$

📌 關鍵假設與物理聯繫： 此計算的核心假設是支撐集的多尺度稀疏結構由小波係數在尺度維度上的衰減指數 $beta$ 主導。通過調控小波係數的調製指數 $alpha$ (見第2章 $c_{j,k} propto 2^{-jalpha} f(k)$)，可有效控制 $beta$，進而調控分形維度 $d_f$。

3.3 Rényi 熵與信息維度的尺度標度

信息論方法為分形分析提供了重要視角。我們定義尺度 $j$ 上小波係數分布的 Rényi 熵：

$$S_q(j)=\frac{1}{1-q}\log (\sum _k\mid c_{j,k}{\mid }^{2q})$$

若係數滿足 $lvert c_{j,k} rvert^2 sim 2^{-j alpha} f(k)$，則 Rényi 熵隨尺度 $j$ 呈現線性增長：

$$S_q(j)\sim j\cdot d_I(q)$$

其中 $d_I(q)$ 稱為 $q$-階信息維度。特別地，當 $q=1$ 時為 Shannon 信息維度：

$$d_I(1)=\underset{j\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{S_1(j)}{j}$$

📌 維度一致性解釋： 在特定的分形小波構造下（例如 $beta$ 主導的稀疏性），信息維度 $d_I(q)$ (尤其是 $d_I(1)$) 與通過幾何覆蓋定義的 Hausdorff 維度 $d_f$ 具有一致性，即 $d_f approx d_I(1)$。這表明幾何稀疏性與信息分布的尺度律緊密關聯。

🧩 小結與物理含義

1. 維度定義統一： 本章將分形維度 $d_f$ 明確定義為波函數 $epsilon$-支撐集在多尺度覆蓋下的 Hausdorff 維度。

2. 係數-幾何橋梁： 建立了小波係數衰減指數 $beta$ 與 Hausdorff 維度 $d_f$ 的直接聯繫 ($d_f = beta$)。

3. 信息維度路徑： 通過 Rényi 熵的尺度標度 $S_q(j) sim j cdot d_I(q)$，提供了刻畫分形維度的信息論方法，並在特定條件下與幾何維度 $d_f$ 一致。

4. 參數可控性： 調製參數 $alpha$ (影響 $beta$)、熵階 $q$ 等，均可調控分形結構的強度與類型，具有明確的物理和實驗調控意義。

下一章（第4章）將基於此分形構造，分析其對量子系統能譜分布的影響，並討論與數值模擬及實際實驗（如凝聚態系統中的分形態觀測）的關聯。