第5章 分形量子態的動力學演化與輸運特性

🎬 5.1 初始分形態構造與演化框架
基於第3-4章構造的具有明確 Hausdorff 維度 $d_f$ (由調製參數 $alpha$ 調控) 的小波分形波函數 $psi_alpha(x, 0)$，本章研究其在哈密頓量 $H$ 驅動下的時間演化：

$${\psi }_{\alpha }(x,t)=e^{-iHt}{\psi }_{\alpha }(x,0),H=-\frac{d^2}{d{x}^2}+V(x)$$

• 勢場 $V(x)$ 設置： 系統考察三種典型場景：

1. 自由粒子 ($V(x)=0$)： 分析分形結構對無外勢下量子擴散的內在影響。

2. 准周期勢 (如 Aubry-André)： 研究分形初態在臨界或局域區的演化行為。

3. 弱無序勢： 探索分形結構與隨機勢的協同/競爭效應。

🔍 5.2 局域性維持與擴散動力學
引入關鍵動力學指標量化分形態的演化特徵：

• 📏 5.2.1 參與度 (Participation Ratio, PR)：

  $$PR(t)=\frac{1}{\int \mathrm{\mid }{\psi }_{\alpha }(x,t){\mathrm{\mid }}^{4}dx}$$

• 物理意義： 表徵波包在實空間的有效擴展體積。$PR(t)$ 越小，表明態的空間局域性越強。

• 分形效應： 初始高 $d_f$ (弱分形) 態 $PR(0)$ 較大；初始低 $d_f$ (強分形/稀疏) 態 $PR(0)$ 較小。演化中，強分形初態的 $PR(t)$ 增長顯著緩慢，提示其動力學局域性增強。

• 🚶 5.2.2 均方位移 (Mean Square Displacement, MSD)：

  $$⟨x^2(t)⟩=\int x^2\mathrm{\mid }{\psi }_{\alpha }(x,t){\mathrm{\mid }}^{2}dx$$

• 標準擴散：$langle x^2(t) rangle sim t^{gamma}$ 且 $gamma = 1$。

• 亞擴散：$gamma < 1$ (擴散受抑制)。

• 超擴散：$gamma > 1$。

• 擴散類型判據：

• 分形效應： 強分形初態 ($d_f$ 小) 在多種勢場下可誘導亞擴散行為 ($gamma < 1$)。其物理機制源於分形結構的多尺度障礙效應阻礙了波包的均勻擴展。

📈 5.3 量子相乾性與輸運奇異性

• 🔁 5.3.1 Loschmidt Echo (量子回波)：

  $$L(t)={\mid ⟨{\psi }_{\alpha }(0)\mathrm{\mid }{\psi }_{\alpha }(t)⟩\mid }^2$$

• 非指數衰減 (如冪律、拉伸指數)。

• 長時間平台或非平穩振盪。

• 提示分形結構誘導了動力學記憶效應和對擾動的魯棒性。

• 物理意義： 衡量初態在時間演化 $t$ 時刻後的保真度 (Fidelity)，反映系統對擾動（或時間反演操作）的敏感性。

• 分形預測： 強分形初態的 $L(t)$ 衰減可能呈現：

• 🚥 5.3.2 量子行走輸運效率：

• 在自由勢或規則勢中，分形初態的擴展顯著慢於高斯波包等光滑初態 ($gamma$ 更低)。

• 在准周期勢中，分形初態可能展現出非各向同性擴散或沿特定晶格方向的“導向輸運”，源於其結構對勢場對稱性的自發匹配。

• 模擬粒子從分形初態 $psi_alpha(x,0)$ 出發的傳播過程。

• 分形效應：

🔬 5.4 信息動力學：熵演化與複雜性

• 📊 實空間 Rényi 熵：

  $$S_q(t)=\frac{1}{1-q}\log (\int \mathrm{\mid }{\psi }_{\alpha }(x,t){\mathrm{\mid }}^{2q}dx)$$

• 冪律增長 $S_q(t) sim t^eta$ ($eta < 1$)。

• 階梯狀或飽和行為。

• 反映信息在分形結構上傳播的阻滯。

• 分析維度： 觀測不同階數 $q$ 下熵 $S_q(t)$ 的增長動力學。

• 分形特徵： 強分形初態的熵增長可能呈現：

• 🧬 光譜熵 (Spectral Entropy)：

• 分析演化態 $psi_alpha(x, t)$ 的瞬時能量分布 $|langle phi_n | psi_alpha(t) rangle|^2$ ($phi_n$ 是 $H$ 的本徵態) 的熵 $S_{spec}(t)$。

• 意義： 表徵態在能量基底上的擴展程度。低 $S_{spec}(t)$ 提示能量局域化。

• 分形關聯： 強分形初態可能維持較低的 $S_{spec}(t)$，表明其在能量空間的局域性維持。

🔮 本章小結與第6章前瞻

1. 核心結論：

• 分形初態 ($d_f$ 小) 展現出強動力學局域性：表現為 $PR(t)$ 增長慢、$MSD$ 呈亞擴散 ($gamma < 1$)。

• 其量子相乾性具有特殊性：$L(t)$ 呈現非指數衰減/振盪，體現結構記憶效應。

• 信息傳播受抑制： 實空間與能量空間熵增長緩慢 ($S_q(t)$, $S_{spec}(t)$)。

• 分形結構可誘導非各向同性輸運或導向性傳播。

2. 物理圖像： 分形幾何不僅是靜態屬性，更是動力學自維持結構，能阻礙均勻擴散、保護量子信息、引導輸運方向。

3. 前瞻第6章： 將本框架拓展至開放量子系統，研究分形態在：

• 熱庫耦合下的退相干與耗散行為。

• 非平衡穩態的建立與分形特徵維持性。

• 量子輸運在耗散環境中的效率調控。

• 與實際開放體系實驗（如冷原子-光腔耦合、介觀器件）的聯繫。