✨ 引言（重寫版）
在複雜系統的諸多現象中，分形結構常被視為靜態幾何特徵——它展現出多尺度、自相似與非整數維的獨特屬性。然而近年來，隨着分形態在量子系統中被實現與操控的可能性逐步顯現，一個核心問題隨之浮現：分形幾何是否僅僅是靜態圖像，還是一種能深度影響量子態演化行為的結構性資源？
本文聚焦一種特定分形構造——小波分形波函數，該波函數通過調製參數 $alpha$ 控制其 Hausdorff 維度 $d_f$，從而在實空間形成多尺度局域結構。我們提出，這種分形初態不僅承載豐富幾何信息，而且在量子動力學中展現出顯著的擴散抑制、量子相乾性保護與信息傳播調控功能。
在封閉系統中，我們系統考察了不同分形度態在自由演化、准周期勢場及無序勢場下的傳播特性，建立了參與度、均方位移、量子回波及 Rényi 熵等多重指標體系。進一步，我們將該分形初態推廣至開放系統框架下，通過 Lindblad 主方程揭示其在耗散/退相干環境中的穩定性表現與信息保持潛能。
本文旨在將“分形”從靜態圖像概念拓展為動態、功能性結構，探討其在量子輸運、態穩定性與信息處理中的潛在物理機制與實際應用。
📘 第一章：研究背景與理論框架
🎯 1.1 分形結構與量子態：背景與交匯
分形（Fractal）幾何廣泛存在於自然界，從湍流邊界到神經網絡、從相變界面到城市分布圖，均展現出多尺度與自相似特徵。在量子力學中，分形結構長期被視為勢場背景（如准周期晶格臨界點的波函數）或譜結構（如 Cantor 光譜），而量子態本身則往往採用光滑、解析或高斯形式。
近期實驗進展，特別是冷原子光晶格與波前整形技術的發展，使得在實空間中直接製備具有明確分形維度的初態成為可能。這為研究“動態分形量子態”奠定了技術基礎，也引發了關於其物理效應的關鍵問題：
📐 1.2 小波分形波函數與分形維度構造
我們採用小波基構造具有可調 Hausdorff 維度 $d_f$ 的波函數族：
其中 $phi_n(x)$ 為小波基函數，$c_n(alpha)$ 是調製係數，控制分布稀疏性。通過調整 $alpha$，可構造出從光滑態（高 $d_f$）到強分形態（低 $d_f$）的一維波包，實現連續分形度控制。
此類波函數不僅在實空間呈現非平滑性與稀疏分布，其傅里葉變換亦展現多尺度頻率結構，為後續在動量空間與譜空間中的局域性分析奠定基礎。
🧭 1.3 研究路線圖與章節安排
本文按以下結構展開：
