第一章：研究背景與理論框架
一、研究動機
在量子態控制與量子信息處理快速發展的背景下，尋找具備高度結構性與穩定性的量子初態成為當前量子科學的重要課題。分形結構作為一種跨尺度自相似的數學形式，長期以來在經典物理、圖像處理與信號分析中展現出強大表現力。近年來，其在量子系統中的潛力逐漸受到關注，尤其在抗干擾性、信息存儲與熱化抑制方面展現出獨特優勢。
與此同時，人工智能（AI）尤其是深度學習與量子機器學習的發展，為分形量子態的建模、模擬與識別提供了新的工具與視角。AI 的多尺度建模能力與模式識別優勢，與分形結構的天然層次性高度契合。這種跨學科融合也進一步激發了從算法和物理結構兩個維度探索分形量子態的動力。
二、已有研究綜述
局域化與擴散行為 Anderson 局域化為研究無序體系中量子擴散奠定了基礎，其後發展出的多體局域化（MBL）機制進一步揭示了量子系統在非平衡態下的長期穩定性。
分形結構與量子動力學 近期工作嘗試通過 Cantor 集、小波構造、Weierstrass 函數等方法生成具有非整數維度的分形初態，用以研究量子擴散率、參與度（PR）與支撐集維數的演化規律。
AI 在量子結構識別中的作用 AI 尤其是圖神經網絡與生成模型已被應用於複雜量子系統的模擬與態識別任務。其在分析非規則結構如分形態方面表現出強大的特徵抽取與聚類能力，有助於揭示非平衡態系統中的穩定性特徵。
開放系統與結構保持性 在 Lindblad 主方程演化框架下，研究者開始關注如何保持分形波函數的初始結構，並分析其在環境擾動下的穩定性、信息保持性與拓撲編碼潛力。
三、理論模型概述
本研究主要採用一維緊束縛體系（tight-binding），包括以下幾類物理背景：
自由粒子模型
准周期勢場模型（如 Aubry-André）
引入隨機勢的無序體系
多體作用修飾的 Mott-Hubbard 模型
理論工具與方法包括：
四、研究目標與結構安排
本研究將系統探討以下內容：
如何通過小波構造獲得具備可調分形維度的量子初態，並從數學層面刻畫其結構特性
在自由、准周期與無序勢場下，分析分形態的動力學擴散、參與度演化與支撐集變形機制
討論開放環境中的結構保持性與信息動力學特徵，包括熵演化與結構記憶保持
探索分形態在多體系統中的穩定性表現及其在量子信息存儲與編碼策略中的應用潛力
結合人工智能方法，實現對分形結構的自動識別、演化趨勢預測與系統分類，為未來量子—AI融合系統提供模型基礎
