第二章：小波分形態的構造方法與數學特性

一、基本構造思路

小波函數是一類具有緊支撐和多尺度結構的基函數族，在信號分析與函數展開中具有重要作用。與傳統的傅里葉基不同，小波可同時兼具空間局域性與頻率定位性，使其在分形結構建模中具有天然優勢。

我們採用如下形式構造分形波函數：

其中：

• $phi_{j,k}(x)$ 為在尺度 $j$ 和位置 $k$ 上的小波基函數（如 Haar 或 Daubechies）

• $c_{j,k}^{(alpha)}$ 為調製係數，滿足尺度衰減律 $|c_{j,k}|^2 sim 2^{-jalpha} f(k)$

• 參數 $alpha$ 控制各尺度上的能量分布，直接影響波函數的自相似強度與分形特徵

該構造允許通過調整 $alpha$ 實現從光滑態到強振盪態的連續變形，具備高可控性。

二、分形性調控機制

1. 振盪強度與空間稀疏度

隨着 $alpha$ 減小：

• 高階小波分量貢獻增加，波函數呈現強烈振盪行為

• 實空間支撐區域趨於稀疏化，能量分布更集中於局部區域

這種行為直接體現了分形幾何中的“孔洞性”與非均勻性，是後續進行維度測度分析的基礎。

2. 自相似性與尺度不變特性

小波構造中每一層級的結構均為高階振盪函數的組合，其在不同尺度上呈現類似模式分布，構成了數值上的自相似行為。通過 $alpha$ 的調控，可以放大或削弱這種尺度不變性。

三、分形維度測度方法

我們採用 $epsilon$-支撐集的 Hausdorff 維度作為分形度量：

1. 定義

令支撐集為：

其中 $epsilon > 0$ 為設定閾值。我們定義其 Hausdorff 維度為：

其中 $N(epsilon_n)$ 為在尺度 $epsilon_n$ 下覆蓋 $text{supp}_epsilon(psi)$ 所需的最小區間數。

2. 模擬關聯

若調製係數滿足 $|c_{j,k}|^2 sim 2^{-j beta}$，則支撐區域在尺度 $j$ 上的密度亦呈指數稀疏。此時有：

從而 $alpha$ 間接控制分形維度：$d_f approx alpha$，實現結構-參數之間的橋接。

四、數值構造與可視化示例

為了更直觀地呈現結構差異，可進行如下模擬：

• 構造 $psi_alpha(x)$ 在 $alpha = 0.3, 0.6, 0.9$ 下的圖像

• 觀察實空間支撐區域的變化，以及波函數在不同區間的振盪強度

• 計算對應支撐集的維度變化，驗證 $d_f$ 與 $alpha$ 的單調關係

這些示例在第3章圖像中已有初步呈現，後續將在第5章中與動力學指標進行關聯分析。