📘 第五章：分形初態下的量子動力學行為分析

5.1 初態構造與分形特徵

我們採用廣義 Weierstrass 函數構造具有控制性分形維度的初態波函數，其定義如下：

其中，參數 $alpha$ 控制分形粗糙度，$beta$ 保證收斂性。通過調整 $alpha$ 可獲得從光滑態到高度分形態的連續過渡。圖 5.1 展示了不同 $alpha$ 下波函數形貌，明確分形度與空間結構之間的關係。

圖 5.1：初始波函數的空間形貌（左：$alpha=0$，中：$alpha=0.5$，右：$alpha=1.5$）

此外，我們通過譜統計與分形維數計算（如 box-counting）驗證其多尺度特性，並討論其與能量譜分布之間的關聯。

5.2 局域性維持與擴散行為指標分析

為評估分形初態在演化過程中的擴散特徵，我們引入以下量化指標：

5.2.1 均方位移（Mean Square Displacement, MSD）

衡量波包空間擴展速率：

標準擴散行為滿足 $langle x^2(t) rangle sim t^gamma$，其中 $gamma=1$ 為線性擴散，$gamma<1$ 表示亞擴散。分形初態普遍呈現亞擴散行為，如圖 5.2 所示，$alpha=1.5$ 的 MSD 增長緩慢，表明空間演化受分形結構抑制。

圖 5.2：不同分形參數 $alpha$ 下的 MSD 隨時間變化曲線

5.2.2 參與度（Participation Ratio, PR）

參與度量化波包分布體積：

初態分形度越高，其 PR 值越低，表徵更強的局域性。隨時間演化，分形初態 PR 增長緩慢，表現出局域性維持能力。如圖 5.3 所示，$alpha=1.5$ 的 PR 曲線在整個演化過程中上升幅度最小。

圖 5.3：不同初態下參與度 PR 的演化趨勢

5.3 譜響應與保真度分析

為了刻畫分形態在能量譜空間中的行為，我們考察以下指標：

5.3.1 保真度（Fidelity）

衡量初始態與演化態的重合程度：

高保真度表示態演化穩定不偏離初態，分形初態在某些勢場下可維持高保真度，對應保守演化路徑。圖 5.4 展示了不同態保真度隨時間的衰減趨勢。

圖 5.4：不同 $alpha$ 初態的保真度演化曲線

5.3.2 譜投影與本徵態展開

我們分析態在系統本徵態空間中的展開：

譜重分布可揭示態是否集中在某類本徵態上。分形初態往往激發多尺度分布，呈現非局域譜響應。如圖 5.5 所示，不同初態在譜空間中的密度圖表現出截然不同的展開結構。

圖 5.5：譜投影分布熱圖（橫軸為本徵能級，縱軸為投影概率）

5.4 動力學行為總結與指標體系展望

我們系統分析了分形初態在量子系統中的動力學行為。總體而言：

• 局域性維持： PR 指標揭示分形態強局域性；

• 擴散減緩： MSD 顯示亞擴散現象；

• 譜響應差異化： 保真度與譜投影揭示分形誘導的演化路徑選擇；

此外，所提指標體系具備可拓展性，未來可應用於：

• 高維量子系統；

• 非線性勢場與耗散系統；

• 分形控制的量子信息存儲與傳輸機制。