2.3 譜結構與頻域尺度響應模型

為進一步刻畫算子作用下的結構響應，可分析 $$F_lambdapsi$$ 在頻域中的行為特徵。考慮其 Fourier 變換形式：

其中 $$hat{psi}_{j,k}$$ 為小波基函數在頻域下的譜表達。該變換結果揭示波函數頻譜在尺度變換下的壓縮行為，並保持譜密度的冪律衰減結構：

此頻譜行為展示了標度協變性在頻域下的對應關係，對理解系統的能譜結構與分形行為具有重要意義。

第 2 章 分形小波算子的標度協變性與物理解釋

2.1 分形小波算子的定義

在 Hilbert 空間$H=L^2(\mathbb{R})H\; =\; L^2(mathbb\{R\})$中，我們利用小波展開構造具有分形特徵的波函數$\psi (x)psi(x)$：

其中：

• ${\psi }_{j,k}(x)psi\_\{j,k\}(x)$為尺度指標$jj$與平移指標$kk$的小波基；

• 係數滿足分形調製形式：

$\alpha alpha$為表徵系統分形標度律的關鍵參數，通常與分形維度$d_{f}d\_f$相關，例如$d_f\approx \alpha d\_f\; approx\; alpha$或存在函數關係$d_f=g(\alpha )d\_f\; =\; g(alpha)$。

為研究波函數在尺度變換下的響應結構，定義如下非幺正算子：

該算子模擬分形結構在物理尺度$\lambda lambda$下的調製響應，但不保證保持波函數的$L^{2}L^2$範數，即：

📌物理意義補充：算子$F_{\lambda }F\_lambda$用於構建分形態在不同觀測尺度下的結構調製模型，其核心在於揭示分形結構的尺度穩定性與演化行為。

2.2 標度協變性分析

尺度變換$x\mapsto \lambda xx\; mapsto\; lambda\; x$會導致小波基函數支撐域擴展或收縮，但若係數滿足分形調製結構$c_{j,k}\propto 2^{-j\alpha }c\_\{j,k\}\; propto\; 2^\{-jalpha\}$，則波函數$\psi (x)psi(x)$的整體自相似結構保持不變。

具體結果如下：

該標度協變性反映了分形波函數在空間尺度變換下維度結構的穩定性，即：

🧪 應用與解釋場景

算子$F_{\lambda }F\_lambda$及其協變性結構可用於：

• 多尺度演化分析： 模擬量子態在不同空間分辨率下的分形響應；

• 能譜結構尺度建模： 參照第 4 章譜密度分析；

• 實驗幾何響應分析： 連接實驗觀測分辨率與分形結構特徵變化。

📌圖示建議（圖 2.1）

建議加入如下插圖：

• 原始波函數$\psi (x)psi(x)$與經算子$F_{\lambda }F\_lambda$變換後的形態；

• 比較不同$\lambda lambda$下波函數形態的自相似保持性；

• 可繪製$F_{\lambda }[\psi ](x)F\_lambda[psi](x)$在不同$\lambda lambda$下的振幅結構，圖注說明分形結構保持的協變性。

🧩 小結

• 構造了具備分形調製的波函數形式與其尺度變換算子；

• 明確了標度協變性與分形維度穩定性的數學表達；

• 提供了用於實驗和模擬中的標度調製模型，支持在不同物理尺度下的分形特性理解。