第二章：表示構造機制 —— 從量子態製備到語義演化

引言：跨範式類比的目的與方法論

本章旨在建立一種跨範式的表示構造類比，將量子線性系統中的態製備與反演機制，與深度表示系統中的嵌入與語義演化過程進行結構映射。這一類比不僅是形式上的對齊，更是方法論上的橋梁，服務於以下三個目標：

1. 統一語言與結構理解：通過類比輸入嵌入、目標態定義、Top‑k 分量、嵌入機制與穩定性分析，構建一個統一的表示構造框架，使量子算法的邏輯可遷移至深度系統的分析與設計。

2. 量子增強表示學習的算法基礎：為後續章節中的量子表示學習算法（如量子態聚焦、互信息估計、block-encoded 表示壓縮）提供結構映射依據，使深度表示系統具備可量子化的構造路徑。

3. 範式融合與認知統一：推動一種新的理論範式，將量子態演化與語義演化視為同一種信息流動機制，從而在認知建模與語義恢復中實現物理與語義的統一。

在此框架下，我們將逐步展開從輸入態製備到目標態定義的構造過程，並引入語義勢能函數、Top‑k 間隙、block-encoding 嵌入機制與表示穩定性分析，形成一個貫穿量子與深度系統的表示演化理論。

2.1 輸入態製備與初始表示空間

• 量子視角：輸入向量 $y\in {\mathbb{C}}^{n}y\; in\; mathbb\{C\}^n$ 被歸一化為量子態：

用於數據嵌入或問題表示，是量子線性代數的起點。

• 深度視角：輸入數據 $x\in {\mathbb{R}}^{d}x\; in\; mathbb\{R\}^d$ 經嵌入函數 $f_1(x)=\sigma (W_{1}x+b_1)f\_1(x)\; =\; sigma(W\_1\; x\; +\; b\_1)$ 映射至初始表示空間 ${\mathcal{X}}_{1}mathcal\{X\}\_1$，形成第一層語義表示 $z_{1}z\_1$。

• 類比目的：兩者均為“表示構造”的起點，分別在量子態空間與嵌套函數空間中定義初始結構。

2.2 表示演化與目標態定義

• 量子反演：目標為求解線性系統 $Mx=yMx\; =\; y$，其反演態為：

構成目標態的測量分布，是結構恢復的基礎。

• 深度演化：表示向量通過複合函數演化：

並定義語義勢能函數：

衡量當前表示與目標語義之間的互信息。

• 類比目的：量子反演態與深度表示均為“目標態”，其構造過程分別通過矩陣反演與信息最大化實現。

2.3 Top‑k 分量與語義間隙

• 量子定義：

間隙 ${\mathrm{\Delta }}_{k}Delta\_k$ 衡量重要分量的可分辨性。

• 語義定義：

表示語義簇之間的分離度。

• 類比目的：Top‑k 間隙在兩種系統中均衡量“可恢復性”，是後續聚焦與採樣策略的關鍵指標。

2.4 Block-Encoding 與嵌入機制

• 量子構造：將矩陣 $MM$ 嵌入酉算子 $UU$：

• 深度嵌套：嵌套函數結構 $F(x)=f_n\circ \cdots \circ f_1(x)F(x)\; =\; f\_n\; circ\; cdots\; circ\; f\_1(x)$ 可視為一種 block-like 編碼機制，將複雜變換嵌入可微結構中。

• 類比目的：Block-Encoding 與深度嵌套均為“表示構造的模塊化機制”，前者用於量子線性代數，後者用於語義演化。

2.5 表示穩定性與誤差控制：深度系統與量子算法的結構映射

• 量子誤差分解：

控制目標態的保真度與資源分配。

• 深度譜穩定性：

定義臨界深度：

• 類比目的：誤差控制與譜穩定性均依賴底層算子的譜性質，決定系統的可恢復性與表達能力。深度系統中的譜穩定性可視為“類量子誤差控制機制”，影響語義勢能函數的梯度結構，進而決定語義聚焦與目標態演化路徑。