王明貞與烏倫貝克在1945年合著的《On the Theory of the Brownian Motion II》具有重要原創性：他們首次系統地將布朗運動置於隨機過程理論的框架下，建立了克雷默方程與福克–普朗克方程的統一描述，並推廣至勢場中的布朗粒子運動。

以下是這篇論文的主要原創貢獻：

🧠 1. 將布朗運動納入高階隨機過程理論

• 愛因斯坦與斯莫盧霍夫斯基的早期布朗運動模型主要處理粒子位置的擴散行為。

• 王–烏倫貝克則從速度空間出發，引入克雷默方程（Kramers equation），描述粒子在速度與位置聯合空間中的概率演化。

• 他們指出布朗運動是高斯隨機過程的一個特例，並將其納入更廣泛的馬爾可夫過程理論背景下處理。

📘 2. 系統推導克雷默方程與福克–普朗克方程的關係

• 他們從朗之萬方程（Langevin equation）出發，推導出粒子在勢場中受阻尼與隨機力作用下的運動方程。

• 通過數學推導，他們展示了如何從微觀隨機動力學導出宏觀概率密度的演化方程，即福克–普朗克方程。

• 這為後來的隨機微分方程理論與耗散系統的量子推廣奠定了基礎。

🧲 3. 引入勢場與外力的布朗運動模型

• 愛因斯坦模型假設粒子在無外力的均勻介質中擴散。

• 王–烏倫貝克則考慮了粒子在勢阱（如簡諧勢）中的布朗運動，首次系統分析了勢場對擴散行為的影響。

• 這對後來的光鑷實驗、分子馬達建模、金融市場建模等領域產生深遠影響。

📐 4. 建立布朗運動的完整概率結構

• 他們不僅給出粒子位置的概率分布，還推導了速度分布、聯合分布、穩態解與時間相關函數。

• 這使得布朗運動從“現象描述”躍升為可計算、可預測的統計力學模型。

🔍 總結：原創性亮點

這篇論文不僅是布朗運動理論的里程碑，也成為現代隨機過程、統計物理、非平衡熱力學的奠基文獻之一。