网上由对地平论的讨论引发对平面定义的讨论。多数在中学生水平。

虽然平面定义对地平论是不必要的， 但平面确实很难定义，在历史上，许多大科学家的定义都有内在的逻辑问题。 既很容易循环定义，又容易重复性判断，如我前面的帖子中指出的那样，你不能先有了欧几里得2维空间，再去定义平面。 这就是用平面定义平面了。 一个要点是，只能用基本的概念去定义更高级的概念，不能反过来。 

但平面的定义，如同民主的定义一样，由于民主本身反对任何权威，所以民主是没有权威的定义的。虽然实践上是没有问题的，但在理论上问题很大。  

离开历史上平面的朴素和直观的概念，莱布尼茨第一个给出了平面的构造性定义，

“平面是一组这样的点，它们到两个定点的距离相等。”

显然，这个定义没有用到比平面更复杂的概念，甚至没有用到直线的概念，他就定义了平面。

一时间，平面其他形式的构造性定义成了热门。 傅里叶给出了下面的定义：

“平面由经过直线上一点，且与直线垂直的所有直线构成”..

这个定义其实没有莱布尼茨的好，用了直线的概念，不过线比面低级，还是可以接受的。 但是如我们前面所说，先于“平面”而给出“垂直”，“直线”等概念还是有些不太妥当。 

18 世纪，英国数学家辛松给出了平面的定义，称为包含性定义：

 “平面是具有下面性质的面，通过其上任意两点的直线完全包含在该面上”

还是同样具有内在的逻辑问题。 

最后，还是希尔伯特的平面的公理化定义解决了问题。 就是希尔伯特将点、直线、平面作为原始性概念，不加具体定义，而只描述。也可以称为公理化定义。现在的民主，也都是只有描述性定义。 就是民主应该是这样子的。 希尔伯特提出并解决了经典力学的公理化问题，同时也提出了量子力学的公理化问题，但没有解决。即所谓希尔伯特第六问题。 

希尔伯特的学生冯·诺依曼，（当代最伟大的数学物理学家，没有之一，与愛因斯坦等人成為普林斯顿的四大教授之一，不須上課。 文小刚的老板，Witten 也许可以说是他的接班人）继续前进，在数学和物理上同时获得许多重要成果，但依然没有最后成功。 今天，轮到我们来做量子力学的公理化问题了。 ：-）） 量子计算的出现和发展给予了量子力学的公理化新的希望。 但在理论上还是有些问题，可能要依赖于科学哲学的最后解决，但在实践上已经有很大的进展。 具体已经超出本贴题目，详情请听下回分解。 ：-））