第二章：表示构造机制 —— 从量子态制备到语义演化

引言：跨范式类比的目的与方法论

本章旨在建立一种跨范式的表示构造类比，将量子线性系统中的态制备与反演机制，与深度表示系统中的嵌入与语义演化过程进行结构映射。这一类比不仅是形式上的对齐，更是方法论上的桥梁，服务于以下三个目标：

1. 统一语言与结构理解：通过类比输入嵌入、目标态定义、Top‑k 分量、嵌入机制与稳定性分析，构建一个统一的表示构造框架，使量子算法的逻辑可迁移至深度系统的分析与设计。

2. 量子增强表示学习的算法基础：为后续章节中的量子表示学习算法（如量子态聚焦、互信息估计、block-encoded 表示压缩）提供结构映射依据，使深度表示系统具备可量子化的构造路径。

3. 范式融合与认知统一：推动一种新的理论范式，将量子态演化与语义演化视为同一种信息流动机制，从而在认知建模与语义恢复中实现物理与语义的统一。

在此框架下，我们将逐步展开从输入态制备到目标态定义的构造过程，并引入语义势能函数、Top‑k 间隙、block-encoding 嵌入机制与表示稳定性分析，形成一个贯穿量子与深度系统的表示演化理论。

2.1 输入态制备与初始表示空间

• 量子视角：输入向量 $y\in {\mathbb{C}}^{n}y\; in\; mathbb\{C\}^n$ 被归一化为量子态：

用于数据嵌入或问题表示，是量子线性代数的起点。

• 深度视角：输入数据 $x\in {\mathbb{R}}^{d}x\; in\; mathbb\{R\}^d$ 经嵌入函数 $f_1(x)=\sigma (W_{1}x+b_1)f\_1(x)\; =\; sigma(W\_1\; x\; +\; b\_1)$ 映射至初始表示空间 ${\mathcal{X}}_{1}mathcal\{X\}\_1$，形成第一层语义表示 $z_{1}z\_1$。

• 类比目的：两者均为“表示构造”的起点，分别在量子态空间与嵌套函数空间中定义初始结构。

2.2 表示演化与目标态定义

• 量子反演：目标为求解线性系统 $Mx=yMx\; =\; y$，其反演态为：

构成目标态的测量分布，是结构恢复的基础。

• 深度演化：表示向量通过复合函数演化：

并定义语义势能函数：

衡量当前表示与目标语义之间的互信息。

• 类比目的：量子反演态与深度表示均为“目标态”，其构造过程分别通过矩阵反演与信息最大化实现。

2.3 Top‑k 分量与语义间隙

• 量子定义：

间隙 ${\mathrm{\Delta }}_{k}Delta\_k$ 衡量重要分量的可分辨性。

• 语义定义：

表示语义簇之间的分离度。

• 类比目的：Top‑k 间隙在两种系统中均衡量“可恢复性”，是后续聚焦与采样策略的关键指标。

2.4 Block-Encoding 与嵌入机制

• 量子构造：将矩阵 $MM$ 嵌入酉算子 $UU$：

• 深度嵌套：嵌套函数结构 $F(x)=f_n\circ \cdots \circ f_1(x)F(x)\; =\; f\_n\; circ\; cdots\; circ\; f\_1(x)$ 可视为一种 block-like 编码机制，将复杂变换嵌入可微结构中。

• 类比目的：Block-Encoding 与深度嵌套均为“表示构造的模块化机制”，前者用于量子线性代数，后者用于语义演化。

2.5 表示稳定性与误差控制：深度系统与量子算法的结构映射

• 量子误差分解：

控制目标态的保真度与资源分配。

• 深度谱稳定性：

定义临界深度：

• 类比目的：误差控制与谱稳定性均依赖底层算子的谱性质，决定系统的可恢复性与表达能力。深度系统中的谱稳定性可视为“类量子误差控制机制”，影响语义势能函数的梯度结构，进而决定语义聚焦与目标态演化路径。