做道數學題

  據說這是美國中學生競賽題目。或許人家有數學天賦的小孩子三下五除二，即刻便做了出來；但對我這個老頭兒卻想了很久。此題用不了多少計算，但需要邏輯推理。題目如下：

  小明考了7次測驗。每次成績不同，都在91到100之間（包含）。都是整數。他每次考後都計算平均分，也都是整數。他的第7次測驗是95分。求他的第六次的測驗成績。

  根據題的條件，七次考試的分數都是整數，在91到100之間，每次都不重複；每次考試後計算出的平均分也都是整數。我首先想到的是，前五次測驗的平均分的個位數應該是0；五個數相加後的平均數如果是整數，個位只能是5或0，因為第七次已經95分。前五次考試分數之和在466和490（91+92+93+94+96和96+97+98+99+100）之間，由此推出，前五次分數之和是470、480和490。先這樣推理好像有點沒頭沒腦哈。放一放，先算七次測驗的分數累計吧。

  現在已知七次測驗的三個分數91、95和100，相加286。另外四個未知數都大於91，小於100，也就是92至99之間（扣除95），四個未知數相加之和在375（92+93+94+96）到390（96+97+98+99）之間。那七次測驗分數之和是661（375+286）到676（390+286）之間。這些數據有多少能被7整除？只有665、672。

  這兩個數據減去第七次測驗分數95後是570和577。前六次測驗分數之和顯然不能是577，因為此數不能被6整除。現在得出，七次測驗分數之和是665分，前六次測驗分數之和是570分。

  現在我們已經計算出前五次測驗分數之和是470、480和490。570減去480或490是90 和80，已知測驗分數90之上（不含90）。現在我們由此推出前五次測驗分數之和為470分。因為前五次測驗分數之和和前六次測驗分數之和的差是100，由此推斷，第六次測驗分數就是100。

  那前五次每次測驗分數是多少？呵呵，人家沒問你這個問題，你就不必計算了。你一定要我算，我只能很笨地在91到99（不含95）這八個數據中瞎碰。那計算量可太大了，也沒什麼邏輯推理。這八個數字是91、92、93、94、96、97、98和99。經過反覆測試，得出第一次到第五次的測驗分數是92、96、91、97和94；這五個分數符合題給定的一切條件。計算這些數據的小竅門，前兩次測驗分數之和被2整除，前三次測驗分數之和被3整除，前四次測驗分數之和被4整除。我“多此一舉”地計算是為了證明出題者不是隨隨便便出的題。當然，前五次測驗分數各是多少的推算估計會有更好的辦法，我現在想不出來。

  下面我想說說為什麼我會這道美國中學競賽題感興趣。看看美國中學生數學競賽題，着重邏輯推理。就這道題的邏輯推理來說，沒有多少必須先要掌握的數學計算技巧，我想會四則運算就可以了。剩下的就是推理的方法。我翻過來倒過去地瞎折騰了半天，最後才決定從七次測驗分數之和減去前六次測驗分數之和；再用前六次測驗分數之和減去前五次測驗分數之和來求第六次測驗分數。顯然，前六次測驗分數之和和前五次測驗分數之和之差就是第六次測驗分數。如果思路正確，這道題會非常迅速地求出來。

  我在中國大陸生活了37年，對中國的數學考試有體會。考試主要是靠計算技巧，邏輯推理是其次的。我知道中學數學要學的計算技巧很多，也有必要學（對數、三角函數、平面幾何、多次方程和代數等等）；然而我相信，一個搞數學的人，最重要的是他的邏輯推理能力。我在中國大陸上學時還有個感覺，就是對一般不靠數學知識作為工作工具的人來說（比方學文科的），學得實在太多了！沒必要。有時上數學課簡直就是在搞“數學遊戲”（我不知道數學競賽是否都以計算技巧為主）。中國的數學教育如此，其他學科也是如此，學習的實用性差。總的來說，中國人傳統上是不注重邏輯推理能力培養的。

  還有點感想，講出來恐怕太主觀。我認為很多國人的邏輯推理能力差和傳統觀念有關。比如評價一個人的歷史作用往往非好即壞，特別的“愛憎分明”。對毛澤東，要麼是惡魔，要麼神一樣的“偉大領袖”。毛澤東在這些人眼裡永遠不是人（說他是神和惡魔，其本質是一樣的）。再者，很多人往往強調個人在歷史上的決定性影響，對制度上的原因往往忽視。中國因為傳統專制制度，人治是肯定的。其實正是因為中國是傳統專制制度，是實施人治，專制統治者才能為所欲為。如果我們僅僅“鞭屍”毛澤東，對傳統的專制制度不予以徹底批判，甚至不自覺地認為專制制度“符合中國國情”，我想您在毫無政治權利情形下是等不到“賢君”的。請記住：絕對的權力導致絕對的腐敗，普通百姓是必然的受害者。