網上由對地平論的討論引發對平面定義的討論。多數在中學生水平。

雖然平面定義對地平論是不必要的， 但平面確實很難定義，在歷史上，許多大科學家的定義都有內在的邏輯問題。 既很容易循環定義，又容易重複性判斷，如我前面的帖子中指出的那樣，你不能先有了歐幾里得2維空間，再去定義平面。 這就是用平面定義平面了。 一個要點是，只能用基本的概念去定義更高級的概念，不能反過來。 

但平面的定義，如同民主的定義一樣，由於民主本身反對任何權威，所以民主是沒有權威的定義的。雖然實踐上是沒有問題的，但在理論上問題很大。  

離開歷史上平面的樸素和直觀的概念，萊布尼茨第一個給出了平面的構造性定義，

“平面是一組這樣的點，它們到兩個定點的距離相等。”

顯然，這個定義沒有用到比平面更複雜的概念，甚至沒有用到直線的概念，他就定義了平面。

一時間，平面其他形式的構造性定義成了熱門。 傅里葉給出了下面的定義：

“平面由經過直線上一點，且與直線垂直的所有直線構成”..

這個定義其實沒有萊布尼茨的好，用了直線的概念，不過線比面低級，還是可以接受的。 但是如我們前面所說，先於“平面”而給出“垂直”，“直線”等概念還是有些不太妥當。 

18 世紀，英國數學家辛松給出了平面的定義，稱為包含性定義：

 “平面是具有下面性質的面，通過其上任意兩點的直線完全包含在該面上”

還是同樣具有內在的邏輯問題。 

最後，還是希爾伯特的平面的公理化定義解決了問題。 就是希爾伯特將點、直線、平面作為原始性概念，不加具體定義，而只描述。也可以稱為公理化定義。現在的民主，也都是只有描述性定義。 就是民主應該是這樣子的。 希爾伯特提出並解決了經典力學的公理化問題，同時也提出了量子力學的公理化問題，但沒有解決。即所謂希爾伯特第六問題。 

希爾伯特的學生馮·諾依曼，（當代最偉大的數學物理學家，沒有之一，與愛因斯坦等人成為普林斯頓的四大教授之一，不須上課。 文小剛的老闆，Witten 也許可以說是他的接班人）繼續前進，在數學和物理上同時獲得許多重要成果，但依然沒有最後成功。 今天，輪到我們來做量子力學的公理化問題了。 ：-）） 量子計算的出現和發展給予了量子力學的公理化新的希望。 但在理論上還是有些問題，可能要依賴於科學哲學的最後解決，但在實踐上已經有很大的進展。 具體已經超出本貼題目，詳情請聽下回分解。 ：-））