昨天设计的物理实例很简单，就是一个单摆再加一块平板。这平板放在地上，单摆吊在平板的上方。让平板和单摆都带上正电荷。单摆左右摇晃的振动，会因电荷的排斥力，传播给平板。这时平板的振动频率，会是单摆振动频率的两倍。下面进行数学证明。

单摆振动波

单摆运动方程微分方程：d²θ/dt²=-gsinθ/L，这里L 为单摆绳的长度，θ为绳和垂线的交角，g为重力加速度。如果θ很小，基于幂级数展开，sin(θ)≈θ，单摆运动方程可简化为：d²θ/dt²=-gθ/L。

它的解为余玄函数θ=θ₀cos(ωt)，这里θ₀是单摆振幅，ω是频率，=(g/L)^1/2，t是时间。解显示，单摆振动波是个单频波。

电场介质非线性

电场是传播介质，因为单摆和平板带的正电荷，产生排斥力F让平板也振动了。排斥力F大小和距离平方成反比，即：F=k/(H-Lcosθ)²，这里k是一个常数，H是单摆挂点到平板距离。

如果θ很小，基于幂级数展开，cosθ≈1-θ²/2以及1/[1-Lθ²/2(L-H)]≈1+Lθ²/2(L-H)，代人有：

F=k/(H-L+Lθ²/2)²=K/[1-Lθ²/2(L-H)]≈K[1+Lθ²/2(L-H)]，这里K=-k/(L-H)

这是关于单摆振动波θ=θ₀cos(ωt)的二次函数，这证明了电场介质是二次非线性的。按照俺以前帖子的推导，二次非线性会导致频率翻倍，这和物理观察结果完全一致。