量子力學的數學基礎(1) - 知乎 (zhihu.com)

• 量子門是用來操作量子比特的基本單元，它們是幺正變換，可以將量子狀態從一個狀態轉換到另一個狀態。量子門是可逆的，不會導致量子態的塌縮1。

從邏輯層面上講，量子門是構築量子算法的邏輯工具，相當於經典計算中的AND、OR、NOT等邏輯門。通過精心設計的量子門序列，我們能夠執行諸如量子搜索、因子分解、優化等複雜的計算任務。量子門是量子電路的核心組件，正如邏輯門在傳統數字電路中的作用一樣。與許多經典邏輯門不同，量子門具有可逆性，這意味着它們可以單獨用於實現經典計算。

在物理層面，量子門是作用於量子比特的幺正操作符，由其幺正性質所決定。這種幺正性質確保了我們可以通過逆操作將輸出狀態恢復為輸入狀態。這種可逆性對於保證量子計算的準確性和保真度至關重要。量子門通常由特定的幺正矩陣描述，這些矩陣通常是相對於某個正交基，如計算基。量子門的功能是改變量子比特的狀態，這可以通過在布洛赫球面上的旋轉來實現，例如，繞布洛赫球的x軸、y軸、z軸的旋轉可以通過相應的旋轉算子門來完成

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用文字來解釋量子態的內積和外積運算：

內積：

• 內積是兩個量子態之間的一種數學運算，結果是一個複數。

• 如果我們有兩個量子態，我們可以稱它們為狀態A和狀態B，它們的內積就是這兩個狀態的重疊度或相似性的度量。

• 如果狀態A和狀態B完全不同（即正交），它們的內積為零；如果它們完全相同，內積的絕對值為最大。

外積：

• 外積是另一種運算，它將兩個量子態結合起來，形成一個新的量子算符。

• 如果我們再次考慮狀態A和狀態B，外積運算會產生一個描述狀態A到狀態B轉換的算符。

• 這個算符可以用來描述量子測量的效果，或者是量子態的變換。

• 假設我們有兩個量子態，我們可以稱它們為狀態A和狀態B。當我們計算狀態A和狀態B的外積時，我們實際上是在創建一個描述從狀態B到狀態A的轉換的規則或指令。

• 這個外積運算的結果是一個量子算符，我們可以將其視為一個矩陣。這個矩陣描述了如果我們對系統進行測量並且找到它在狀態B中，系統將如何轉換到狀態A。

• 所以，外積算符是量子力學中的一個基本工具，它用於描述量子系統的狀態變換和測量過程。

龐加萊群和洛倫茲變換之間有着密切的關聯。龐加萊群是閔可夫斯基時空中的等距同構群，它包括了所有保持時空間隔不變的變換，這些變換包括洛倫茲變換和平移變換1。

洛倫茲變換是龐加萊群的一個子群，它包含了所有可以轉換慣性參考系的變換，而不改變時空間隔的變換。這些變換包括時間和空間的旋轉（boosts和rotations），它們保持光速不變，是狹義相對論的核心部分2。

龐加萊群可以被視為洛倫茲群的擴展，因為它不僅包括洛倫茲變換，還包括了平移變換。這意味着龐加萊群不僅描述了在不同慣性參考系之間的變換，還描述了時空中位置的變化3。

數學上，龐加萊群是由洛倫茲群的變換和四維時空中的平移變換組成的。洛倫茲群是一個6維的李群，對應於三個空間維度的旋轉和三個方向的boosts。而平移變換是一個4維的阿貝爾群，對應於時間和三個空間維度的平移。龐加萊群是這兩個群的半直積，因此是一個10維的李群4。

在物理學中，龐加萊群的重要性在於它是狹義相對論和量子場論中描述粒子和場的對稱性的基礎。粒子的性質，如質量和自旋，可以通過龐加萊群的表示來分類和理解2。

閔科夫斯基空間的時空對稱性是指在狹義相對論框架下，時空的結構和物理定律在某些變換下保持不變的性質。這些變換構成了所謂的龐加萊群，它包括洛倫茲變換和平移變換1。

閔科夫斯基空間與量子力學的聯繫主要體現在量子場論中，這是一個將量子力學原理與狹義相對論相結合的理論框架。在量子場論中，閔科夫斯基空間提供了描述粒子的場的四維時空背景1。

在閔科夫斯基空間中，時間和空間不再是獨立的實體，而是形成了一個統一的四維連續體。這種時空觀念對於量子力學中的粒子行為描述至關重要，因為它允許粒子的波函數在四維時空中傳播，並且遵循洛倫茲不變性，即物理定律在所有慣性參考系中都是相同的2。

此外，量子力學中的狄拉克方程就是在閔科夫斯基時空中提出的。狄拉克方程是一個相對論性波動方程，用於描述費米子（如電子）的量子行為。狄拉克通過引入旋量的概念，並將閔科夫斯基時空的度規應用於量子力學，成功地將相對論性效應納入量子力學的描述中3。

因此，閔科夫斯基空間的時空對稱性和度規在量子力學中的應用，為理解粒子的相對論性行為提供了數學基礎，使得量子力學能夠與狹義相對論的原理兼容並統一到量子場論的框架之下。