量子力学的数学基础(1) - 知乎 (zhihu.com)

• 量子门是用来操作量子比特的基本单元，它们是幺正变换，可以将量子状态从一个状态转换到另一个状态。量子门是可逆的，不会导致量子态的塌缩1。

从逻辑层面上讲，量子门是构筑量子算法的逻辑工具，相当于经典计算中的AND、OR、NOT等逻辑门。通过精心设计的量子门序列，我们能够执行诸如量子搜索、因子分解、优化等复杂的计算任务。量子门是量子电路的核心组件，正如逻辑门在传统数字电路中的作用一样。与许多经典逻辑门不同，量子门具有可逆性，这意味着它们可以单独用于实现经典计算。

在物理层面，量子门是作用于量子比特的幺正操作符，由其幺正性质所决定。这种幺正性质确保了我们可以通过逆操作将输出状态恢复为输入状态。这种可逆性对于保证量子计算的准确性和保真度至关重要。量子门通常由特定的幺正矩阵描述，这些矩阵通常是相对于某个正交基，如计算基。量子门的功能是改变量子比特的状态，这可以通过在布洛赫球面上的旋转来实现，例如，绕布洛赫球的x轴、y轴、z轴的旋转可以通过相应的旋转算子门来完成

https://qlearn.dev/%E9%87%8F%E5%AD%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6%E5%9F%BA%E7%A1%80%E7%90%86%E8%AE%BA/2.1.11-%E7%9B%B8%E4%BD%8D%E7%BA%AF%E6%80%81%E5%92%8C%E6%B7%B7%E5%90%88%E6%80%81-phase-pure-state-and-mixed-state/

用文字来解释量子态的内积和外积运算：

内积：

• 内积是两个量子态之间的一种数学运算，结果是一个复数。

• 如果我们有两个量子态，我们可以称它们为状态A和状态B，它们的内积就是这两个状态的重叠度或相似性的度量。

• 如果状态A和状态B完全不同（即正交），它们的内积为零；如果它们完全相同，内积的绝对值为最大。

外积：

• 外积是另一种运算，它将两个量子态结合起来，形成一个新的量子算符。

• 如果我们再次考虑状态A和状态B，外积运算会产生一个描述状态A到状态B转换的算符。

• 这个算符可以用来描述量子测量的效果，或者是量子态的变换。

• 假设我们有两个量子态，我们可以称它们为状态A和状态B。当我们计算状态A和状态B的外积时，我们实际上是在创建一个描述从状态B到状态A的转换的规则或指令。

• 这个外积运算的结果是一个量子算符，我们可以将其视为一个矩阵。这个矩阵描述了如果我们对系统进行测量并且找到它在状态B中，系统将如何转换到状态A。

• 所以，外积算符是量子力学中的一个基本工具，它用于描述量子系统的状态变换和测量过程。

庞加莱群和洛伦兹变换之间有着密切的关联。庞加莱群是闵可夫斯基时空中的等距同构群，它包括了所有保持时空间隔不变的变换，这些变换包括洛伦兹变换和平移变换1。

洛伦兹变换是庞加莱群的一个子群，它包含了所有可以转换惯性参考系的变换，而不改变时空间隔的变换。这些变换包括时间和空间的旋转（boosts和rotations），它们保持光速不变，是狭义相对论的核心部分2。

庞加莱群可以被视为洛伦兹群的扩展，因为它不仅包括洛伦兹变换，还包括了平移变换。这意味着庞加莱群不仅描述了在不同惯性参考系之间的变换，还描述了时空中位置的变化3。

数学上，庞加莱群是由洛伦兹群的变换和四维时空中的平移变换组成的。洛伦兹群是一个6维的李群，对应于三个空间维度的旋转和三个方向的boosts。而平移变换是一个4维的阿贝尔群，对应于时间和三个空间维度的平移。庞加莱群是这两个群的半直积，因此是一个10维的李群4。

在物理学中，庞加莱群的重要性在于它是狭义相对论和量子场论中描述粒子和场的对称性的基础。粒子的性质，如质量和自旋，可以通过庞加莱群的表示来分类和理解2。

闵科夫斯基空间的时空对称性是指在狭义相对论框架下，时空的结构和物理定律在某些变换下保持不变的性质。这些变换构成了所谓的庞加莱群，它包括洛伦兹变换和平移变换1。

闵科夫斯基空间与量子力学的联系主要体现在量子场论中，这是一个将量子力学原理与狭义相对论相结合的理论框架。在量子场论中，闵科夫斯基空间提供了描述粒子的场的四维时空背景1。

在闵科夫斯基空间中，时间和空间不再是独立的实体，而是形成了一个统一的四维连续体。这种时空观念对于量子力学中的粒子行为描述至关重要，因为它允许粒子的波函数在四维时空中传播，并且遵循洛伦兹不变性，即物理定律在所有惯性参考系中都是相同的2。

此外，量子力学中的狄拉克方程就是在闵科夫斯基时空中提出的。狄拉克方程是一个相对论性波动方程，用于描述费米子（如电子）的量子行为。狄拉克通过引入旋量的概念，并将闵科夫斯基时空的度规应用于量子力学，成功地将相对论性效应纳入量子力学的描述中3。

因此，闵科夫斯基空间的时空对称性和度规在量子力学中的应用，为理解粒子的相对论性行为提供了数学基础，使得量子力学能够与狭义相对论的原理兼容并统一到量子场论的框架之下。