第2章 分形小波算子的标度协变性与物理解释

2.1 分形小波算子的定义

在 Hilbert 空间 $H = L^2(mathbb{R})$ 中，我们利用尺度调制的小波展开构造具有分形特征的波函数 $psi(x)$：

$$\psi (x)=\sum _{j,k}{c}_{j,k}{\psi }_{j,k}(x)$$

其中：

• $psi_{j,k}(x)$：尺度指标为 $j$、平移指标为 $k$ 的小波基函数。

• $c_{j,k} propto 2^{-jalpha} f(k)$：系数呈现尺度依赖性和分形调制特性。其中指数 $alpha$ 是表征系统分形标度律的关键参数，与分形维度 $d_f$ 密切相关（通常 $d_f approx alpha$ 或在特定模型下存在函数关系 $d_f = g(alpha)$）。$f(k)$ 为位置相关的调制函数。

为研究该波函数在尺度变换下的行为，定义如下非幺正算子 $F_{lambda}$：

$$F_{\lambda }[\psi ](x)=\sum _{j,k}{\lambda }^{-d_f\mathrm{/}2}{c}_{j,k}{\psi }_{j,k}(\lambda x)$$

📌 关键说明： 该算子 $F_{lambda}$ 不保证 保持波函数的 $L^2$ 范数，即 $| F_{lambda}[psi] |{L^2} neq | psi |{L^2}$。其核心作用在于模拟分形结构在不同物理尺度 $lambda$ 下的调制响应，而非执行严格的幺正变换（如量子态的保范演化）。

2.2 标度协变性分析

此构造的核心在于研究分形特征的标度协变性：当空间尺度通过参数 $lambda$ 进行变换（$x mapsto lambda x$）时，波函数的多尺度振荡结构及其分形维度（$d_f$）是否保持不变。

具体而言，对于具有 $c_{j,k} propto 2^{-jalpha}$ 形式的分形调制系数（$alpha$ 关联于 $d_f$），尺度变换 $x mapsto lambda x$ 会导致：

1. 小波基函数 $psi_{j,k}(x)$ 的支撑集发生收缩（$lambda > 1$) 或扩展（$lambda < 1$）。

2. 然而，波函数 $psi(x)$ 的整体自相似结构（分形特征）在变换后得以维持，分形维度 $d_f$ 不变。

这种基于算子 $F_{lambda}$ 的尺度变换模型可用于：

• 多尺度演化分析： 研究分形结构在不同观测尺度下的表现。

• 能谱结构尺度化模拟： 模拟物理系统能谱在不同尺度上的分形特性 （参见第4章中的谱密度分析）。

• 实验观测几何响应： 通过实验装置（如改变显微镜放大倍率或空间分辨率）改变有效物理尺度，观察分形量子态的几何结构响应。

📌 小结： 算子 $F_{lambda}$ 的核心功能是建立分形结构的标度响应模型。该响应模型提供对分形特性（如分形维度 $d_f$）在不同空间尺度 $lambda$ 下稳定性的量化分析方式。其数学本质更接近于一种非幺正的重构算子，旨在对波函数进行结构性的尺度调制，以便在不同尺度上分析和理解其分形特性，而非描述严格的量子态动力学演化。