第3章 小波分形态的几何度量与维度计算

3.1 分形度量对象的选择：从函数图像到支撑集

在小波构造的量子态中，分形特征可体现于不同层面：

1. 波函数图像结构： 多尺度振荡行为。

2. 实空间支撑区域： 波函数显著幅值（能量集中区域）在实空间中的稀疏性。

3. 小波系数空间分布： $lvert c_{j,k} rvert^2$ 的尺度依赖性结构。

4. 傅里叶谱空间分布特性。

本章核心对象： 我们聚焦于波函数在实空间中的支撑集作为分形几何的度量对象，并研究其在小波展开结构下的 Hausdorff 维度。

定义（$epsilon$-支撑集）：

$${\text{supp}}_{ϵ}(\psi )=\{x\in \mathbb{R}\mid \mid \psi (x)\mid >ϵ\}$$

其中 $epsilon > 0$ 是一个小阈值，用于排除波函数尾部微小的振幅贡献。在分形态构造下，该集合 $text{supp}_epsilon(psi)$ 通常表现出具有非整数维度的稀疏几何结构。注： 对于足够小的 $epsilon$，其分形维数具有稳定性。

3.2 覆盖数与 Hausdorff 维度计算

为刻画支撑集 $text{supp}_epsilon(psi)$ 的几何特性，我们：

1. 引入尺度序列 $epsilon_n = 2^{-n}$ ($n in mathbb{N}$)。

2. 计算在尺度 $epsilon_n$ 下覆盖 $text{supp}_epsilon(psi)$ 所需的最小区间数 $N(epsilon_n)$。

3. 定义其 Hausdorff 维度 $d_f$ 为：

   $$d_f=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\log N({ϵ}_n)}{\log (1\mathrm{/}{ϵ}_n)}$$

小波构造下的维度计算：
若小波系数的平方模满足尺度衰减律 $lvert c_{j,k} rvert^2 propto 2^{-j beta}$ (即幅度随尺度 $j$ 增大而指数稀疏)，则支撑区域在尺度 $j$ 上的密度亦呈指数稀疏。此时覆盖数满足：

$$N({ϵ}_n)\sim 2^{n\beta }=e^{n\beta \log 2}$$

代入 Hausdorff 维度定义式得：

$$d_f=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\log (2^{n\beta })}{\log (2^n)}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n\beta \log 2}{n\log 2}=\beta$$

📌 关键假设与物理联系： 此计算的核心假设是支撑集的多尺度稀疏结构由小波系数在尺度维度上的衰减指数 $beta$ 主导。通过调控小波系数的调制指数 $alpha$ (见第2章 $c_{j,k} propto 2^{-jalpha} f(k)$)，可有效控制 $beta$，进而调控分形维度 $d_f$。

3.3 Rényi 熵与信息维度的尺度标度

信息论方法为分形分析提供了重要视角。我们定义尺度 $j$ 上小波系数分布的 Rényi 熵：

$$S_q(j)=\frac{1}{1-q}\log (\sum _k\mid c_{j,k}{\mid }^{2q})$$

若系数满足 $lvert c_{j,k} rvert^2 sim 2^{-j alpha} f(k)$，则 Rényi 熵随尺度 $j$ 呈现线性增长：

$$S_q(j)\sim j\cdot d_I(q)$$

其中 $d_I(q)$ 称为 $q$-阶信息维度。特别地，当 $q=1$ 时为 Shannon 信息维度：

$$d_I(1)=\underset{j\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{S_1(j)}{j}$$

📌 维度一致性解释： 在特定的分形小波构造下（例如 $beta$ 主导的稀疏性），信息维度 $d_I(q)$ (尤其是 $d_I(1)$) 与通过几何覆盖定义的 Hausdorff 维度 $d_f$ 具有一致性，即 $d_f approx d_I(1)$。这表明几何稀疏性与信息分布的尺度律紧密关联。

🧩 小结与物理含义

1. 维度定义统一： 本章将分形维度 $d_f$ 明确定义为波函数 $epsilon$-支撑集在多尺度覆盖下的 Hausdorff 维度。

2. 系数-几何桥梁： 建立了小波系数衰减指数 $beta$ 与 Hausdorff 维度 $d_f$ 的直接联系 ($d_f = beta$)。

3. 信息维度路径： 通过 Rényi 熵的尺度标度 $S_q(j) sim j cdot d_I(q)$，提供了刻画分形维度的信息论方法，并在特定条件下与几何维度 $d_f$ 一致。

4. 参数可控性： 调制参数 $alpha$ (影响 $beta$)、熵阶 $q$ 等，均可调控分形结构的强度与类型，具有明确的物理和实验调控意义。

下一章（第4章）将基于此分形构造，分析其对量子系统能谱分布的影响，并讨论与数值模拟及实际实验（如凝聚态系统中的分形态观测）的关联。