第5章 分形量子态的动力学演化与输运特性

🎬 5.1 初始分形态构造与演化框架
基于第3-4章构造的具有明确 Hausdorff 维度 $d_f$ (由调制参数 $alpha$ 调控) 的小波分形波函数 $psi_alpha(x, 0)$，本章研究其在哈密顿量 $H$ 驱动下的时间演化：

$${\psi }_{\alpha }(x,t)=e^{-iHt}{\psi }_{\alpha }(x,0),H=-\frac{d^2}{d{x}^2}+V(x)$$

• 势场 $V(x)$ 设置： 系统考察三种典型场景：

1. 自由粒子 ($V(x)=0$)： 分析分形结构对无外势下量子扩散的内在影响。

2. 准周期势 (如 Aubry-André)： 研究分形初态在临界或局域区的演化行为。

3. 弱无序势： 探索分形结构与随机势的协同/竞争效应。

🔍 5.2 局域性维持与扩散动力学
引入关键动力学指标量化分形态的演化特征：

• 📏 5.2.1 参与度 (Participation Ratio, PR)：

  $$PR(t)=\frac{1}{\int \mathrm{\mid }{\psi }_{\alpha }(x,t){\mathrm{\mid }}^{4}dx}$$

• 物理意义： 表征波包在实空间的有效扩展体积。$PR(t)$ 越小，表明态的空间局域性越强。

• 分形效应： 初始高 $d_f$ (弱分形) 态 $PR(0)$ 较大；初始低 $d_f$ (强分形/稀疏) 态 $PR(0)$ 较小。演化中，强分形初态的 $PR(t)$ 增长显著缓慢，提示其动力学局域性增强。

• 🚶 5.2.2 均方位移 (Mean Square Displacement, MSD)：

  $$⟨x^2(t)⟩=\int x^2\mathrm{\mid }{\psi }_{\alpha }(x,t){\mathrm{\mid }}^{2}dx$$

• 标准扩散：$langle x^2(t) rangle sim t^{gamma}$ 且 $gamma = 1$。

• 亚扩散：$gamma < 1$ (扩散受抑制)。

• 超扩散：$gamma > 1$。

• 扩散类型判据：

• 分形效应： 强分形初态 ($d_f$ 小) 在多种势场下可诱导亚扩散行为 ($gamma < 1$)。其物理机制源于分形结构的多尺度障碍效应阻碍了波包的均匀扩展。

📈 5.3 量子相干性与输运奇异性

• 🔁 5.3.1 Loschmidt Echo (量子回波)：

  $$L(t)={\mid ⟨{\psi }_{\alpha }(0)\mathrm{\mid }{\psi }_{\alpha }(t)⟩\mid }^2$$

• 非指数衰减 (如幂律、拉伸指数)。

• 长时间平台或非平稳振荡。

• 提示分形结构诱导了动力学记忆效应和对扰动的鲁棒性。

• 物理意义： 衡量初态在时间演化 $t$ 时刻后的保真度 (Fidelity)，反映系统对扰动（或时间反演操作）的敏感性。

• 分形预测： 强分形初态的 $L(t)$ 衰减可能呈现：

• 🚥 5.3.2 量子行走输运效率：

• 在自由势或规则势中，分形初态的扩展显著慢于高斯波包等光滑初态 ($gamma$ 更低)。

• 在准周期势中，分形初态可能展现出非各向同性扩散或沿特定晶格方向的“导向输运”，源于其结构对势场对称性的自发匹配。

• 模拟粒子从分形初态 $psi_alpha(x,0)$ 出发的传播过程。

• 分形效应：

🔬 5.4 信息动力学：熵演化与复杂性

• 📊 实空间 Rényi 熵：

  $$S_q(t)=\frac{1}{1-q}\log (\int \mathrm{\mid }{\psi }_{\alpha }(x,t){\mathrm{\mid }}^{2q}dx)$$

• 幂律增长 $S_q(t) sim t^eta$ ($eta < 1$)。

• 阶梯状或饱和行为。

• 反映信息在分形结构上传播的阻滞。

• 分析维度： 观测不同阶数 $q$ 下熵 $S_q(t)$ 的增长动力学。

• 分形特征： 强分形初态的熵增长可能呈现：

• 🧬 光谱熵 (Spectral Entropy)：

• 分析演化态 $psi_alpha(x, t)$ 的瞬时能量分布 $|langle phi_n | psi_alpha(t) rangle|^2$ ($phi_n$ 是 $H$ 的本征态) 的熵 $S_{spec}(t)$。

• 意义： 表征态在能量基底上的扩展程度。低 $S_{spec}(t)$ 提示能量局域化。

• 分形关联： 强分形初态可能维持较低的 $S_{spec}(t)$，表明其在能量空间的局域性维持。

🔮 本章小结与第6章前瞻

1. 核心结论：

• 分形初态 ($d_f$ 小) 展现出强动力学局域性：表现为 $PR(t)$ 增长慢、$MSD$ 呈亚扩散 ($gamma < 1$)。

• 其量子相干性具有特殊性：$L(t)$ 呈现非指数衰减/振荡，体现结构记忆效应。

• 信息传播受抑制： 实空间与能量空间熵增长缓慢 ($S_q(t)$, $S_{spec}(t)$)。

• 分形结构可诱导非各向同性输运或导向性传播。

2. 物理图像： 分形几何不仅是静态属性，更是动力学自维持结构，能阻碍均匀扩散、保护量子信息、引导输运方向。

3. 前瞻第6章： 将本框架拓展至开放量子系统，研究分形态在：

• 热库耦合下的退相干与耗散行为。

• 非平衡稳态的建立与分形特征维持性。

• 量子输运在耗散环境中的效率调控。

• 与实际开放体系实验（如冷原子-光腔耦合、介观器件）的联系。